Matematyka.pl

zad.1
Pokaż, że płaszczyzna z metryką "rzeka" jest łukowo spójna, a więc spójna.

zad.2
Uzasadnij, że zbiór \(\displaystyle{ X = \{0\} \times \left[-1,1\right] \cup \{(x, \sin {1 \over x}) : \quad x > 0\}}\) jest spójny, ale nie łukowo spójny.

zad.3
Niech X będzie spójna, niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją ciągłą o wartościach całkowitych. Udowodnij, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą.

zad.4
Czy istnieje ciągła, wzajemnie jednoznaczna funkcja \(\displaystyle{ f: [0,1)\rightarrow \mathbb{R}?}\)

zad.5
Czy istnieje taka funkcja ciągła \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\), że \(\displaystyle{ f(x) \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow x \notin \mathbb{Q}}\)?

zad.6
Czy istnieje funkcja ciągła \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ y \in \mathbb{R}}\) zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}(y)}\) ma dokładnie dwa elementy?

4. Gdyby istniała, to \(\displaystyle{ f\upharpoonleft_{(0,1)}}\) też byłaby ciągła, ale jej obraz nie byłby spójny.

W 2 nie ma jakiegos ograniczenia na te x-sy? bo sie mianownik zeruje w kilku miejscach. Nie powinno byc, że :
\(\displaystyle{ x \in (0, \frac{2}{\pi} )}\)?

Zad5.
Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\), natomiast zbiór liczb niewymiernych nie jest zbiorem typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\).
Niech więc \(\displaystyle{ \mathbb{Q}= \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n}\) gdzie zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) są domknięte. Gdyby istniała taka funkcja \(\displaystyle{ f}\) to mielibyśmy
\(\displaystyle{ \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} =f^{-1} (\mathbb{Q} ) =f^{-1} ( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) = \bigcup_{n=1}^{\infty} f^{-1} (A_n)}\) . Zatem zbiór liczb niewymiernych byłby typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\). sprzeczność.-- 5 sty 2010, o 19:09 --Zad6. Przypuśćmy, że taka funkcja istnieje. Niech \(\displaystyle{ y\in f(\mathbb{R} )}\) i niech \(\displaystyle{ f^{-1} (\{y\} ) =\{w,z\}}\), gdzie \(\displaystyle{ w<z}\).
1) Niech \(\displaystyle{ t\in (w,z)}\) i niech \(\displaystyle{ f(t) <y}\) oraz \(\displaystyle{ f^{-1} (f(t)) =\{u,t\} , u \neq t}\) . Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ f(s) <y}\) dla pewnego \(\displaystyle{ s>z}\), weźmy \(\displaystyle{ c\in (\max \{f(t) ,f(s)\} , y)}\) wówczas z własności Darboux istnieją punkty \(\displaystyle{ x_1 \in (z,s)}\), \(\displaystyle{ x_2 \in (t,z)}\), \(\displaystyle{ x_3\in (w,t)}\), takie, że \(\displaystyle{ f(x_1 )=f(x_2 )=f(x_3 )=c}\), co jest niemożliwe. Podobnie pokazujemy, że niemożliwe jest aby \(\displaystyle{ f(v) <y}\) , dla pewnego \(\displaystyle{ v<w}\). Zatem na zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R} \backslash (w,z)}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartości większe od liczby y. Funkcja ciągła \(\displaystyle{ f}\) osiąga na zbiorze zwartym \(\displaystyle{ [w,z]}\) swój kres dolny \(\displaystyle{ b=\inf_{r\in [w,z ]} f(r) =\inf_{r\in \mathbb{R}} f(r)}\) . Gdyby \(\displaystyle{ f^{-1} (\{b\} )=\{k,l\}, k < l}\), to istniałyby punkty \(\displaystyle{ m_1\in (-\infty, k )}\) , \(\displaystyle{ m_2 \in (k,l)}\) , \(\displaystyle{ m_3 \in (l, +\infty )}\) , takie że \(\displaystyle{ f(m_1) >b , f(m_2 )>b , f(m_3 )>b}\), biorąc teraz \(\displaystyle{ d\in (b,\min \{ f(m_1) ,f(m_2 ), f(m_3 )\} )}\) otrzymalibyścmy, że zbiór \(\displaystyle{ f^{-1} (\{d\} )}\) ma conajmniej trzy elementy. Zatem musi być \(\displaystyle{ k=l}\) czyli sprzecznośc z tym, że zbiór \(\displaystyle{ f^{-1} (\{b\} )}\) jest dwuelementowy.

Analogicznie rozważamy przypadek 2) gdy \(\displaystyle{ f(t)>y}\)

Dziękuję, ale mówienie o tym jakiego typu jest to zbiór niewiele mi daje, dlatego, że nie miałam tego jeszcze na analizie matematycznej.

2. Oznaczmy \(\displaystyle{ A= [-1,1], \times \{0\}, \ B = \{(x, \sin\tfrac{1}{x}) \ : \ x > 0\}.}\)
\(\displaystyle{ A,B}\) są łukowo spójne jako obrazy ciągłe odpowiednio \(\displaystyle{ [-1,1], \ (0,\infty).}\)
Zatem istnieje \(\displaystyle{ C}\) - składowa spójna \(\displaystyle{ X}\) zawierająca \(\displaystyle{ B.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ C\supset B,}\) oraz \(\displaystyle{ C}\) jako składowa spójna jest zbiorem domkniętym i \(\displaystyle{ \text{cl}(B) = X,}\) to \(\displaystyle{ C = X,}\) więc \(\displaystyle{ X}\) jest spójny.

Oznaczmy \(\displaystyle{ a = (\tfrac{1}{\pi}, 0), \ b = (0,1).}\)
Gdyby \(\displaystyle{ X}\) był łukowo spójny, to istniałoby ciągłe \(\displaystyle{ f:[0,1]\to X,}\) t,że \(\displaystyle{ f(0) = a, \ f(1) = b.}\)
Z ciągłości \(\displaystyle{ f}\) i spójności \(\displaystyle{ [0,1]}\) zbiór \(\displaystyle{ f([0,1])}\) jest spójny. Zatem \(\displaystyle{ (x,\sin\tfrac{1}{x})\in f([0,1]), \ x \in (0,\tfrac{1}{\pi}].}\) Dlatego \(\displaystyle{ f([0,1])}\) nie jest lokalnie spójny - każde otoczenie \(\displaystyle{ b}\) o średnicy \(\displaystyle{ \le \tfrac{1}{2}}\) jest niespójne.
Ale \(\displaystyle{ f}\) jako odwzorowanie ciągłe określone na zbiorze zwartym jest domknięte, w szczególności jest odwzorowaniem ilorazowym. Ponieważ \(\displaystyle{ [0,1]}\) jest lokalnie spójny i odwzorowania ilorazowe zachowują lokalną spójność, to otrzymujemy sprzeczność, gdyż jak pokazaliśmy \(\displaystyle{ f([0,1])}\) nie jest lokalnie spójny.

Mam pytanie do zadania 5.
Co to znaczy , że zbiór liczb wymiernych jest zbiorem typu \(\displaystyle{ F_{\sigma}}\) ?

To znaczy, że jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych.