Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f: \left[ 0,1 \right] \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie dana przez \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{C}}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=n}\) na każdym przedziale długości \(\displaystyle{ 3 ^{-n}}\) zbioru \(\displaystyle{ \left[ 0,1 ] \backslash \mathbb{C}\right}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}f(x)dx=3}\).
Proszę o pomoc.

Domyślam się, że w dość nietypowy sposób, poprzez \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) oznaczamy zbiór Cantora.
Łatwo się przekonać, że przedziałów dopełnienia tego zbioru o długości \(\displaystyle{ 3^{-n}}\) jest \(\displaystyle{ 2^{n-1},\ n = 1,2,\ldots}\)
Stąd szukana całka wyraża się jako suma:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}f(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}}\)
(kolejne sumy częściowe tego szeregu możemy traktować jako całki z funkcji prostych aproksymujących \(\displaystyle{ f}\))
Aby policzyć tę sumę, zauważmy, że dla \(\displaystyle{ x\in(-1,1)}\) jest:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} = \left(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)' = \frac{1}{(1 - x)^{2}}}\)
Wstawiając \(\displaystyle{ x=\frac{2}{3}}\) i przemnażając przez \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) dostajemy naszą sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{(1 - \frac{2}{3})^{2}} = 3.}\)

Dziękuje ty to masz łeb- tzn. głowę