Matematyka.pl

Witam.
Mam ogólnie 3 zadanka do wykonania z kombinatoryki, ale podam najpierw 2. Myślę, że pomożecie

I.
Łańcuch RNA to sekwencja zasad amonowych czterech rodzajów
oznaczanych symbolami C, G, U i A. Ile łańcuchów może
powstać jako sekwencja 12 zasad, jeśli wiadomo, że każdy z
nich składa się z 4 zasad C, 4 zasad G, 3 zasad U i 1 zasady
A, oraz zaczyna się sekwencją CCU a kończy GUG?

II.
Ile różnych liczb 7 cyfrowych można utworzyć, zapisując w
dowolnej kolejności 7 cyfr 8, 8, 8, 8, 5, 5, 2 ?

Ktoś wie jak to zrobić ?

2)

\(\displaystyle{ C= \frac{7!}{4! \cdot 2! \cdot 1!}}\)

Bieniol pisze:2)

\(\displaystyle{ C= \frac{7!}{4! \cdot 2! \cdot 1!}}\)

A możesz wytłumaczyć dlaczego akurat tak to zrobiłeś?

Są to permutacje z powtórzeniami.. Więcej na ten temat

Obydwa zadania są praktycznie takie same co do zasady:

1) W podanej sekwencji 12 zasad 6 ma już swoje miejsce w łańcuchu. Pozostaje 6 zasad do "ustawienia" pomiędzy nimi: 2C, 2G, 1U 1A.

Na początek trzeba więc wybrać 2C (z 4) 2U (także z 4) i 2G (z 3) na z góry wyznaczone miejsca. Ilość możliwości tego początkowego wyboru, to:

\(\displaystyle{ C^{2}_{4} \cdot C^{2}_{4} \cdot C^{2}_{3}}\).

Natomiast ilość możliwości na ile można uporządkować "środkowe" zasady jest równa ilości możliwych uporządkowań zbioru 6-elementowego podzielonych przez iloczyn uporządkowań zbioru 2-elemetowego (dla zasady C, bo ich zamiana nie zmienia sekwencji łańcucha) i kolejnego zbioru 2-elementowego (dla zasady G), czyli:

\(\displaystyle{ \frac{6!}{2! \cdot 2!}=...}\)

Tym samym wszystkich możliwości będzie:

\(\displaystyle{ C^{2}_{4} \cdot C^{2}_{4} \cdot C^{2}_{3} \cdot \frac{6!}{2! \cdot 2!}=...}\)

2) Podobnie jak wyżej ilość możliwych do utworzenia liczb jest równa ilości możliwych uporządkowań zbioru 7-elementowego podzielonych przez iloczyn uporządkowań zbioru 4-elemetowego (zamiana miejsc z cyfrą 8 nie zmienia zapisanej liczby) i uporządkowań zbioru 2-elemetowego (zamiana miejsc z cyfrą 5 także nie zmienia zapisanej liczby), czyli:

\(\displaystyle{ \frac{7!}{4! \cdot 2!}=...}\)

mat_61, w tym pierwszym zadaniu trzeba wziąc jeszcze pod uwagę to, że na pierwszym miejscu jest C (są 4 takie możliwości).. i tak dalej. To chyba nie będzie takie czysto z permutacji z powtórzeniami

Bieniol pisze:mat_61, w tym pierwszym zadaniu trzeba wziąc jeszcze pod uwagę to, że na pierwszym miejscu jest C (są 4 takie możliwości).. i tak dalej. To chyba nie będzie takie czysto z permutacji z powtórzeniami

Masz rację (dziękuję za zwrócenie uwagi ), jakoś mi to umknęło. Oczywiście trzeba na początek wybrać 2C (z 4) 2U (także z 4) i 2G (z 3) na z góry wyznaczone miejsca, a dopiero potem uporządkować pozostałe 6 zasad. Ilość możliwości tego początkowego wyboru, to:

\(\displaystyle{ C^{2}_{4} \cdot C^{2}_{4} \cdot C^{2}_{3}}\).

Czyli wszystkich możliwości będzie:

\(\displaystyle{ C^{2}_{4} \cdot C^{2}_{4} \cdot C^{2}_{3} \cdot \frac{6!}{2! \cdot 2!}=...}\)

Poprawię wcześniejszy swój wpis. Myślę, że teraz powinno być OK.