Matematyka.pl

Znalazłem jakiś egzamin z analizy i chciałem poćwiczyć. Proszę się czepiać wszystkich zapisów itd.
Wyznacz, jeśli istnieje, granica ciągu \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{2}3^n + 4^n}}\)

Uprośćmy najpierw nasze wyrażenie pod pierwiastkiem
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{2}3^n + 4^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4^n\cdot(n^{2}\frac{3}{4}^n + 1)}= \lim_{n \to \infty} 4\cdot \sqrt[n]{n^{2}\frac{3}{4}^n + 1} = a_n}\)

Korzystając z Tw o trzech ciągach możemy oszacować nasz ciąg z góry z i z dołu
oraz korzystając z podstawowych granic:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}=1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}=1 \text{ dla } a>0}\)
\(\displaystyle{ 3=3\cdot1^2 =4\cdot \sqrt[n]{\frac{3}{4}^n} \cdot (\sqrt[n]{n})^2= 4\cdot \sqrt[n]{n^{2}\frac{3}{4}^n} \le a_n \le 4\cdot \sqrt[n]{n^{2}\frac{3}{4}^n + n^{2}\frac{3}{4}^n} = 4\cdot \sqrt[n]{2n^{2}\frac{3}{4}^n}=4\cdot \sqrt[n]{2} \cdot (\sqrt[n]{n})^2 \cdot \sqrt[n]{\frac{3}{4}^n}=3\cdot 1^2\cdot 1=3}\)

Zatem również na mocy tw o 3 ciągach:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{2}3^n + 4^n} =3}\)

można się do czegoś przyczepić?

wedlug Ciebie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ (\frac{3}{4})^n } \rightarrow 1}\)?
Poza tym szacowania są nieprawidłowe.

\(\displaystyle{ 3=3\cdot1^2 =4\cdot \sqrt[n]{\frac{3}{4}^n} \cdot (\sqrt[n]{n})^2}\)

nie jest to prawda, brakuje znaku granicy i pomyliles wzory
Po prostu napisz, że \(\displaystyle{ a_{n}= ... \ b_{n}= ... \ c_{n}= ....\\
a_{n} \le b_{n} \le c_{n}}\) i korzystajac z tw. o 3 ciagach mamy ...

Zordon pisze:wedlug Ciebie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ (\frac{3}{4})^n } \rightarrow 1}\)?

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ (\frac{3}{4})^n } = \frac{3}{4}}\)
Tak zrobiłem wcześniej.

Zordon pisze:Poza tym szacowania są nieprawidłowe.

które jest złe?

Ateos pisze:

\(\displaystyle{ 3=3\cdot1^2 =4\cdot \sqrt[n]{\frac{3}{4}^n} \cdot (\sqrt[n]{n})^2}\)

nie jest to prawda, brakuje znaku granicy i pomyliles wzory
Po prostu napisz, że \(\displaystyle{ a_{n}= ... \ b_{n}= ... \ c_{n}= ....\\
a_{n} \le b_{n} \le c_{n}}\) i korzystajac z tw. o 3 ciagach mamy ...

rozumiem że limesa brakuje tam

@down
Hmm 4? na początku też mi wyszło 4 ale nie umiałem oszacować z dołu ;D

oszacowanie górne
\(\displaystyle{ c_n = \sqrt[n]{4^n + 4^n} =\sqrt[n]{2\cdot 4^n} = 4\cdot\sqrt[n]{2}=4\cdot 1 = 4}\)
oszacowanie dolne
\(\displaystyle{ a_n = 4\cdot \sqrt[n]{n^2 + n^2}=4\cdot (\sqrt[n]{n})^2\cdot \sqrt[n]{2} = 4\cdot 1^2 \cdot 1 = 4}\)
wymuszone ale wyszło :/

Aha to źle zobaczyłem, w każdym razie prawe szacowanie jest nieprawidłowe. I żeby już dłużej nie trzymać w niepewności to prawidłowy wynik to 4

Aha to źle zobaczyłem

Dobrze widziałeś, bo zmienił po twoim poście.

Dobra ostatecznie napisz tak:
\(\displaystyle{ 4^n \le n^23^n+4^n \le n^24^n+4^n=4^n(n^2+1)\\
a_{n} = \sqrt[n]{4^n} \le \sqrt[n]{n^23^n+4^n} \le \sqrt[n]{4^n(n^2+1)}=c_{n}\\
\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} c_{n}= 4}\)
Więc na podstawie tw. o 3 ciągach dostajemy to co chciałeś.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n^2+1=1}\) (jak nie wiesz, to oblicz na koniec)

Ateos pisze:

Aha to źle zobaczyłem

Dobrze widziałeś, bo zmienił po twoim poście.

Daruj sobie takie insynuacje.
Widzisz gdzieś edycje pierwszego postu? Pokaż mi

Nie proszę Ciebie o pomoc, więc nie musisz tutaj pisać -,-