Matematyka.pl

Wyznacz te wartosci parametru m, dla których wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^4-2x^3-6x+10x+m}\) ma pierwiastek potrójny.

Prosiłbym o w miarę dokładne wytłumaczenie gdyż zależy mi na zrozumieniu tego.

Dziękuje.

przyrównaj do zera 2 pochodną W(x)
Jeśli funkcja W(x) ma pierwiastek potrójny to \(\displaystyle{ W'(x)}\) ma pierwiastek podwójny, a 2 pochodna pierwiastek pojedynczy. Nas obchodzi tylko ten pierwiastek potrojny, nazwijmy 'a'. Moze istniec tez inny pierwiastek(bo wielomian jest 4 stopnia), ale on bedzie drugim, rozwiązaniem naszego trójmianu(2 pochodna W(x)).
\(\displaystyle{ W''(x)=2x^2-x-1=0\\
W''(x)=0 \Leftrightarrow x= - \frac{1}{2} \vee x=1}\)
Teraz wystarczy sprawdzić czy dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\) dzieli się 3 razy przez W(x), lub sprawdzić to przez pokazanie, że dwumian \(\displaystyle{ x+0.5}\) nie dzieli się przez W(x) 2 razy. Oczywiście wszystko bez reszty.
Więc sprawdźmy 1 sposobem:
\(\displaystyle{ W(1)=...=0\\
W'(1)= ...=0\\
W''(1)= ...=0\\}\)
z pierwszego równania otrzymasz pożadany parametr.

Ostatecznie, dla \(\displaystyle{ m= -4 \Rightarrow W(x)=2(x+2)(x-1)^3}\)

Wszystko super, z tym że jest mi obce pojęcie pochodnych i nie za bardzo to do mnie przemawia więc czy istnieje inny sposób? bardziej na moim poziomie (2LO) ;}

no to kolego ciężka misja przed tobą(tak próbowałem przed powyższym błyskotliwym pomysłem):
przyjmijmy znowu nasz szukany pierwiastek jako 'a'.
W(x) dzieli się 3 razy przez dwumian \(\displaystyle{ (x-a)}\) bez reszty. No i koniec, czas zabrać się za dzielenie.
Otrzymane reszty muszą wyjść zero. A odtrzymany wielomian po dzieleniu dzielisz znowu przez dwumian i tak jeszcze raz. Dużo rachunków, biorąc pod uwage, że pierwsze 2 reszty są stopnia >2

ps. Moim zdaniem szybciej by było nauczenie się działań na pochodnych i wzoru: \(\displaystyle{ (x^a)'=ax^{a-1}}\) oraz dodatkowo geometrycznej interpretacji pochodnej:)

Znalazłem tutaj:
post34963.htm?hilit

Skrzypu pisze:Skoro ma pierwiastek potrójny to jest postaci \(\displaystyle{ W(x)=2(x-a)(x-b)^3}\) wymnóż nawiasy i przyrównaj współczynniki

Nie wiem, to dobre rozwiązanie?

nie rozumiem co mam zrobić z tym wyrażenie "wymnóż nawiasy i przyrównaj współczynniki"

pewnie, że tak można, nie pisałem bo nie bylem pewien czy ten uklad nie bedzie za trudny. Sproboj.

wymnóż nawiasy

- masz tylko 2 nawiasy i jeszcze wszystko przez 2 pomnozysz, A nastepnie

przyrównaj współczynniki

- bo przyrownujesz 2 wielomiany

co powinienem podstawić w miejsce a i b?

Wiesz, że wielomiany \(\displaystyle{ W(x)=2(x-a)(x-b)^3}\) i \(\displaystyle{ W(x)=2x^4-2x^3-6x+10x+m}\) są równe, więc mają takie same współczynniki przy odpowiednich potęgach.

Sprowadź ten wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2(x-a)(x-b)^3}\) do "zwyczajnej" postaci podnosząc \(\displaystyle{ (x-b)}\) do trzeciej potęgi i mnożąc przez \(\displaystyle{ 2(x-a)}\), a potem przyrównaj odpowiednie wspólczynniki otrzymanego wielomianu do współczynników tego wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=2x^4-2x^3-6x+10x+m}\).