Matematyka.pl

Korzystajac z j.r. w dziedzinie \(\displaystyle{ Z[i \sqrt{2}]}\) udowodnic, ze jedynymi rozwiazaniami w w liczbach calkowitych rownania \(\displaystyle{ x^3 = y^2 + 2}\) sa pary (3, 5) i (3, -5).

Rozwiazanie:
\(\displaystyle{ x^3 = \left(y + i \sqrt{2}\right) \left(y - i \sqrt{2}\right)}\)
Wykazemy, ze te czynniki sa wzglednie pierwsze.
Przypuscmy, ze \(\displaystyle{ NWD \left(y + i \sqrt{2}, \ y - i \sqrt{2}\right) \sim a + bi \sqrt{2}; \ a, b \in Z}\).
\(\displaystyle{ \left(a + bi \sqrt{2} \right)|\left(y + i \sqrt{2} \right) - \left(y - i \sqrt{2}\right) = 2i \sqrt{2} = -\left(i \sqrt{2}\right)^3}\)
Poniewaz \(\displaystyle{ i \sqrt{2}}\) jest elementem nierozkladalnym w \(\displaystyle{ Z[i \sqrt{2}]}\), wiec \(\displaystyle{ a + bi \sqrt{2} \sim \left(i \sqrt{2} \right)^k}\) przy pewnym \(\displaystyle{ k \in \{0, 1, 2, 3\}}\).

Bardzo prosze o wyjasnienie ostatniego zdania, tzn. czemu tam musi byc element nierozkladalny i skad wynika to stowarzyszenie. Bardzo dziekuje!

Dlaczego \(\displaystyle{ i\sqrt{2}}\) jest nierozkładalny, to można sprawdzić z definicji elementu nierozkładalnego.
Drugą część łatwo otrzymać jeśli się zapisze:
\(\displaystyle{ (a + bi\sqrt{2})(c + di\sqrt{2}) = -(i\sqrt{2})^{3},}\)
rozłoży lewą stronę na czynniki nierozkładalne i skorzysta z definicji pierścienia z jednoznacznością rozkładu...

Ale do czego jest nam potrzebny akurat element nierozkladalny \(\displaystyle{ i \sqrt{2}}\)? Czemu musi byc jakis element nierozkladalny w tym zadaniu? Bo z tego, ze jest taki element nierozkladalny wywnioskowano cos. Jak nierozkladalnosc tego elementu ma sie do tego wniosku?

Nierozkładalność \(\displaystyle{ i\sqrt{2}}\) przydała nam się, żeby z podzielności:
\(\displaystyle{ a + bi\sqrt{2}\mid-(i\sqrt{2})^{2}}\)
czyli z istnienia takiego \(\displaystyle{ c + di\sqrt{2}\in \mathbb{Z}[i\sqrt{2}],}\)
że:
\(\displaystyle{ (a + bi\sqrt{2})(c + di\sqrt{2}) = -(i\sqrt{2})^{3}}\)
wywnioskować, iż \(\displaystyle{ a + bi\sqrt{2} \sim -(i\sqrt{2})^{3}.}\)