wahadło matematyczne

[Kinga]

Ciało o masie m = 10 g wykonuje dgrania harmoniczne o amplitudzie A = 10 cm i czestotliwosci v = 100 s do -1 potegi. Obliczyc maksymalne wartości : siły zwracającej fz , energii potencjalnej Ep oraz energii kinetycznej Ek drgań.

[Amon-Ra]

Siła powodująca powrót ciała do położenia równowagi jest zależna liniowo od wychylenia:

\(\displaystyle{ \large \vec{F}=-k\vec{x}}\), ale \(\displaystyle{ \large F=kx}\)

Maksymalna siła działać będzie na ciało wtedy, gdy to wychylone będzie także maksymalnie - innymi słowy gdy nasze x równe będzie amplitudzie drgań A. Do obliczenia wymaganej stałej sprężystości posłużymy się dwiema postaciami częstości kołowej drgań:

\(\displaystyle{ \large \omega =\sqrt{\frac{k}{m}} \\ \omega =\frac{2\pi}{T}}\)

Wiadomo, iż \(\displaystyle{ f=\frac{1}{T}}\) i \(\displaystyle{ T=\frac{1}{f}}\); jeżeli tak, zapisać można tożsamości:

\(\displaystyle{ \large \omega =\frac{2\pi}{T}=2\pi f=\sqrt{\frac{k}{m}} \\ \frac{k}{m}=4\pi ^2 f^2 \\ k=4\pi^2 f^2 m}\)

Stąd też uzyskujemy maksymalną siłę działającą na ciało:

\(\displaystyle{ \large F_{max}=kx_{max}=kA=4A\pi^2 f^2 m}\)

Energia potencjalna jest funkcją zależną kwadratowo od wychylenia z położenia równowagi, zatem największą swoją wartość także przyjmie wtedy, gdy wychylenie będzie maksymalne - równe amplitudzie:

\(\displaystyle{ \large E_{p.max}=\frac{kx_{max}^2}{2}=\frac{kA^2}{2}=2m(A\pi f)^2}\)

[Kinga]

moglby ktos jeszcze obliczyc mi energie kinetyczna?

[pawczan]

Energia kinetyczna jest równa \(\displaystyle{ \frac{mv^{2}}{2}=\frac{m}{2}\omega^{2}A^{2}}\)
i tak tylko nawiasem mówiąc to ek jest max. w połozeniu równowagi więc wartość v w tym wzorku jest wartością predkości jaką ciało uzyskuje przechodząc przez położenie równowagi.