Matematyka.pl

Załóżmy, że grupa G ma n generatorów. Czy stąd wynika, że każda jej podgrupa da się
wygenerować przez zbiór co najwyżej n-elementowy?

Nie, można nawet podać przykład grupy skończenie generowanej, która ma podgrupę, która nie jest skończenie generowana.

Na przykład grupa wolna \(\displaystyle{ F_{2}}\) o dwóch generatorach \(\displaystyle{ x,y}\) - ma dwuelementowy zbiór generatorów \(\displaystyle{ x,y}\) ale zawiera podgrupę wolną o nieskończonym zbiorze generatorów:
\(\displaystyle{ \{x^{n}yx^{-n}\}_{n\in \mathbb{N}}.}\)

W przypadku grup skończonych grupa \(\displaystyle{ S_{p}}\) dla \(\displaystyle{ p\ge 3}\) pierwszych jest generowana przez dwa elementy \(\displaystyle{ (1\ 2), (1\ \ldots \ p)}\) ale dla \(\displaystyle{ p\ge 7}\) zawiera podgrupę \(\displaystyle{ \langle(1\ 2),\ (3 \ 4), \ (5 \ 6) \rangle\cong \mathbb{Z}_{2}^{3},}\) której nie da się wygenerować za pomocą 2 elementów.

Dzięki!

max pisze: W przypadku grup skończonych grupa \(\displaystyle{ S_{p}}\) dla \(\displaystyle{ p\ge 3}\) pierwszych jest generowana przez dwa elementy \(\displaystyle{ (1\ 2), (1\ \ldots \ p)}\)

A to jest chyba nawet prawda dla dowolnej liczby naturalnej większej od 1, nie tylko dla liczb pierwszych

Tak, coś mi się pomyliło