Matematyka.pl

wyznacz rząd elementu grupy :
\(\displaystyle{ \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i \in C ^{*}}\)

No to z definicji, niech tamta liczba to \(\displaystyle{ x}\), sprawdzamy dla jakiego najmniejszego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ x^n=1}\), wtedy \(\displaystyle{ n}\) będzie rzędem \(\displaystyle{ x}\)

tzn. że jak rząd będzie 16 to mam to 16 razy do potęgi podnosić trochę jest tego liczenia nie ma jakiejś drogi na skróty???

jest droga na skróty, ale trzeba zrozumieć najpierw działanie tej metody.

A czy mógłbyś mi wytłumaczyć tę "drogę na skróty"??
wiem, że muszę tak długo podnosić do potęgi aż uzyskam 1+0i (bo przy mnożeniu akurat to będzie elementem neutralnym w liczbach zespolonych), jednak chciałabym też poznać inna metodę

jeśli się zacznie w zwykły sposób podnosić do kolejnych potęg, to widać, że to do niczego sensownego nie prowadzi, dlatego warto zamienić na postać trygonometryczną

z postaci trygonometrycznej tez ciężko cokolwiek uzyskać jest problem z kątem jakiś inny pomysł??

wskazówka:

To zderzymy się z zagadnieniem ustalenia, czy ten kąt jest współmierny z \(\displaystyle{ \pi}\), co nie jest łatwe.

Nieco inne podejście polega na zauważeniu, że ta liczba jest pierwiastkiem wielomianu:

\(\displaystyle{ z^2-\frac 65 z+1}\)

(Jest to wielomian charakterystyczny macierzy \(\displaystyle{ \frac 15\begin{pmatrix}3&4\\-4&3\end{pmatrix}}\) reprezentującej tę liczbę zespoloną.)

Skoro tak, to jest to co najwyżej pierwiastek pierwotny trzeciego stopnia z jedynki (bo to pierwiastek wielomianu stopnia 2 o współczynnikach wymiernych) jednak ten spełnia inne równanie, mianowicie \(\displaystyle{ z^2+z+1=0}\). Zatem dana liczba ma nieskończony rząd.