Matematyka.pl

Witam,
mógłby ktoś mi wyjaśnić na przykładach jak to się je:

1. Znaleźć funkcje tworzące dla ciągów:
a) \(\displaystyle{ a_{n} = n}\)

b) \(\displaystyle{ b_{n} = 1 + 2 + ... + n}\)

c) \(\displaystyle{ c_{n} = n^{2}}\)

d) \(\displaystyle{ d_{n} = 2^{n}}\)

2. Jakim ciągom odpowiadają następujące funkcje tworzące:

a) \(\displaystyle{ (1-x)^{-n}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{x^{n}}{(1-x)^{n}}}\)

c) \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x^{3}}}\)

d) \(\displaystyle{ (1+x)^{n} + (1-x)^{n}}\)

e) \(\displaystyle{ \frac{(1+x)^{2}}{(1-x)^{4}}}\)

f) \(\displaystyle{ \frac{1}{5-6x+x^{2}}}\)-- 30 grudnia 2009, 12:41 --Pomoże ktoś?

1.
a) Wystarczy scałkować skorzystać ze wzoru na sumę postępu geometrycznego i zróżniczkować:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}nx^{n} = x\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1} = x\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)' = x\left(\frac{1}{1 - x}\right)' = \frac{x}{(1-x)^{2}}}\)

b) Zauważmy najpierw, że:
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{n(n+1)}{2}}\)
dalej postępujemy jak w a):
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n(n+1)}{2}x^{n} = \frac{x}{2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}\right)^{(2)}}\)

c) Podobnie:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}n^{2}x^{n} = x\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^{n-1} - x\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}}\)
i dalej zwijamy każdy składnik odpowiednio tak jak w b) i a).

d) Sumujemy szereg geometryczny:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}2^{n}x^{n} = \frac{1}{1 - 2x}}\)

2. Wszędzie wystarczy rozwinąć funkcję w szereg i spojrzeć na współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{n}}\):

a) Korzystamy z .

b) przemnażamy wynik z a) przez \(\displaystyle{ x^{n}}\)

c) Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 - x^{3}} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{3n}}\)

d) Ta funkcja to wielomian - ma skończone rozwinięcie. Konkretniej wzór dwumienny Newtona załatwia sprawę.

e) wstawiamy w a) \(\displaystyle{ n= 4}\) przemnażamy przez \(\displaystyle{ (1 + x)^{2} = 1 + 2x + x^{2}}\) i grupujemy.

f) Korzystając z równości \(\displaystyle{ 5 - 6x + x^{2} = (1 - x)(5 - x)}\) rozkładamy ułamek na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{1}{5 - 6x + x^{2}} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{5- x},}\)
(stałe \(\displaystyle{ A,B}\) wyliczamy z odpowiednich równań)
a następnie rozwijamy każdy składnik w szereg (geometryczny) i grupujemy ich sumę względem potęg \(\displaystyle{ x}\).