Matematyka.pl

Udowodnij, że dla każdego n>=1 14|3^(4n-2) + 5^(2n-1)

Rozpisuje dla 1 i wychodzi, potem założenie:

3^(4k-2) + 5^(2k-1) = 14s, gdzie s należy do N

teza:

3^(4k+2) + 5^(2k+1) = 14s', gdzie s' należy do C

no i przy dowodzie się gubię, bo nie wiem jak przekształcić teze aby gdzieś tak przemienić żeby dało się wyrażenie zastąpić tym 14s.

Napisz, gdzie się zgubiłeś, bo część tego rozwiązania jest chyba oczywista, a tylko gdieniegdzie są pewne trudności. Przeczytaj także wątek regulaminowy o pisaniu tematów... nie używamy w temacie wyrazów "zadanie" - za mało precyzyjne... [zadań z indukcji było tu już sporo - proponuje "podzielność przez 14 - indukcja"]

pozdr.

3^(4n-2) + 5^(2n-1)=3^2(2n-1)+5^(2n-1)=9^(2n-1)+5^(2n-1)=14^(2n-1)

wydaje mi się że powinienem z tezy do tego dojść...

Skrzypu napisał

9^(2n-1)+5^(2n-1)=14^(2n-1)

mam pytanie skąd to sie wzięło, bo ja nie wiem!!
a^n+b^n=(a+b)^n ????
prosze, przemyśl to jeszcze raz
poza tym należy przekształcać teze w ten sposób aby ewentualnie można było podstawić założenie

Naprawde nikt nie kwapi się aby to zrobić?

To może Ja napisze:

- dla 1 spełnione bo widać

- załozenie: 14|3^(4n-2) + 5^(2n-1)

- teza: 14|3^(4(n+1)-2) + 5^(2(n+1)-1)

Przekształcamy sobie wyrażenie 3^(4(n+1)-2) + 5^(2(n+1)-1) i dostajemy:
81*3^(4n-2)+25*5^(2n-1)=25*(3^(4n-2) + 5^(2n-1)) + 56*3^(4n-2)=
25*(14*s) + 14*(4*3^(4n-2))=14*(25s + 4*3^(4n-2)) czyli to wyrażenie jest podzielne przez 14. cnd

Dzięki Pikaczu:). Zadanie to miałem na szóstke, na kartkówce z indukcji właśnie:)