Matematyka.pl

Hej. Rozwiązałem już kilkanaście zadań rekurencyjnych, ale nie radze sobie z typem, który ma w ogonie wielomian. Np.
\(\displaystyle{ a_n = 5a_{n-1} -4n+1; a_0 = 2}\)

Chodzi o to, że rozwiązanie ma postać:
\(\displaystyle{ a_n = A5^n +V(n)}\)
Gdzie A to stała a V(n) to wielomian stopnia max pierwszego. Moje pytanie jak wyznaczyc ten wielomian? Wiadomo ze spełnia on zadanie rekurencyjne.

Skoro wielomian jest stopnia co najwyżej pierwszego, to możemy go zapisać jako \(\displaystyle{ a \cdot n+b}\):
\(\displaystyle{ a_n = A \cdot 5^n + a \cdot n + b}\)

mamy trzy niewiadome: A, a i b. Bierzemy 3 pierwsze wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_0=2,a_1=7,a_2=28}\) i układamy z nich układ równań:

\(\displaystyle{ 2=A+b\\
7 = 5A+a+b\\
28 = 25A+2a+b}\)

Rozwiązujemy (najłatwiej za pomocą wzorów Cramera), wynik wychodzi \(\displaystyle{ A=1, a=1, b=1}\). I ostatecznie wzór na ciąg wychodzi:
\(\displaystyle{ a_n = 5^n + n + 1}\)

Hehe, masz racje. Nie wpadłem na to. Licze że doktor nie rzuci nam przykładów z wielomianami 10+ stopnia:).

wiem ze temat juz jest dawno zamkniety ale moze ktos odpowie.
dlaczego jest postaci \(\displaystyle{ A*5^n}\) skad sie to bierze? czy liczba co stoi przed \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) czyli w tym przypadku 5 to sie tak jakby zamienia w \(\displaystyle{ A5^n}\) ?? np w \(\displaystyle{ a_n=2a_{n-1}+cos tam}\) to wzor by mial postac \(\displaystyle{ a_n=A*2^n + an+b}\) ????