Strona 1 z 1
Znaleźć granice funkcji
: 27 gru 2009, o 12:49
autor: Wilkołak
1) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \sqrt[x]{1+sinx}}\)
2) \(\displaystyle{ \lim_{x \to \pi} \frac{1+cosx}{sin^2x}}\)
3) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 8} \frac{8-x}{sin\frac{1}{8}\pi x}}\)
Może jakieś podpowiedzi?
Dobra, drugie jest jednak łatwe
2) \(\displaystyle{ \frac{1+cosx}{sin^2x} = \frac{1+cosx}{1-cos^2x} = \frac{1+cosx}{(1+cosx)(1-cosx)} = \frac{1}{1-cosx}}\), a dla x dążącego do PI cosx zbiega do -1, więc całość do 1/2.
Znaleźć granice funkcji
: 27 gru 2009, o 12:53
autor: miodzio1988
3) Bylo masę razy. Podstawienie: \(\displaystyle{ x-8= t}\)
I korzystamy ze znanej nam granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{sinx}{x}=1}\)
jak nie chce ci się myslec to poszukaj tego przykladu.
2)Przez sprzezenie licznika wymnoz sobie licznik i mianownik. Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej
1) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \sqrt[x]{1+sinx}= \lim_{x \to 0} (1+sinx) ^{ \frac{1}{x} }}\)
I powinna Ci się ta postac z czyms kojarzyc
Znaleźć granice funkcji
: 27 gru 2009, o 13:18
autor: Wilkołak
miodzio1988 pisze:1) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \sqrt[x]{1+sinx}= \lim_{x \to 0} (1+sinx) ^{ \frac{1}{x} }}\)
I powinna Ci się ta postac z czyms kojarzyc
Od razu mi się skojarzyło, tylko nadal nie wiem jak ładnie pokazać, że to będzie e. Dla małych x (czyli x->0)
\(\displaystyle{ x \approx sinx}\), ale czy można tak bezczelnie zrobić?
Znaleźć granice funkcji
: 27 gru 2009, o 13:28
autor: Nakahed90
\(\displaystyle{ (1+sinx)^{\frac{1}{x}}=[(1+sinx)^{\frac{1}{sinx}}]^{\frac{sinx}{x}}}\)
Znaleźć granice funkcji
: 27 gru 2009, o 13:29
autor: miodzio1988
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (1+sinx) ^{ \frac{1}{x} }= \lim_{x \to 0} e^{ \frac{ln(1+sinx)}{x} } =e ^{1}=e}\)
Mozna tez to robic inaczej, ale jak się nie ma pomyslu to zawsze mozna tak sprobowac.
Czyli tak jak to zrobil Nakahed90
Znaleźć granice funkcji
: 27 gru 2009, o 15:37
autor: Wilkołak
Pewnie to też już było, ale nie wiem jak wyszukiwać konkretnych przykładów.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt[2007]{1+x} -1}{2x+x^2}}\)
Znaleźć granice funkcji
: 27 gru 2009, o 19:18
autor: aatomka
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[2007]{1+x}-1}{2x-x^2} =\lim_{x\to 0} \frac{e^{\ln (1+x)^{\frac {1}{2007}}}-1}{2x(x+1)}= \lim_{x\to 0}\frac{e^{{\frac {1}{2007}}\ln (1+x)}-1}{2x(x+1)}=
\lim_{x\to 0} \frac{e^{{\frac {1}{2007}}\ln (1+x)}-1}{{\frac {1}{2007}}\ln (1+x)} } \cdot \frac {\frac {1}{2007}\ln (1+x)}{ 2 x(x+1)} = \lim_{x\to 0}\frac{e^{{\frac {1}{2007}}\ln (1+x)}-1}{{\frac {1}{2007}}\ln (1+x)} } \cdot \lim_{x\to 0} \frac {\ln (1+x)}{ x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{4014(x+1)}= 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4014}= \frac{1}{4014}}\)