Matematyka.pl

W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin\beta = \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)

Oblicz iloczyn cosinusów tych kątów

przyjąłem sobie że:

\(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{a}{c}}\) i \(\displaystyle{ \sin\beta= \frac{b}{c}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)

i \(\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{b}{c}}\) i \(\displaystyle{ \cos\beta= \frac{a}{c}}\)

doprowadziłem do postaci \(\displaystyle{ \cos\alpha * \cos\beta = ( \frac{ \sqrt{5} }{2} - \frac{a}{c})*(\frac{ \sqrt{5} }{2} - \frac{b}{c} )}\)

ale chyba coś zabardzo zamotałem? proszę o pomoc

\(\displaystyle{ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{ \sqrt{5} }{2} \Rightarrow \frac{(a+b)^2}{c^2}=\frac{5}{4}}\)

\(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{(a+b)^2}{c^2}=\frac{{a^2}+{b^2}+2ab}{c^2}=1+2\frac{ab}{c^2}}\)

\(\displaystyle{ \cos{\alpha} \cdot \cos{\beta}=\frac{ab}{c^2}}\)

Dzięki za pomoc

\(\displaystyle{ \cos^{2}\beta +\cos ^{2}\alpha = ( \frac{a}{c} )^{2} +( \frac{b}{c} ) ^{2} = \frac{a ^{2} +b ^{2} }{c ^{2} } = \frac{c ^{2} }{c ^{2} }= 1}\) i już wiem skąd i co się wzięło

Pozdrawiam