Matematyka.pl

Rozwiązać układ równań w zależności od parametru a.

\(\displaystyle{ \begin{cases} ax_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}=1\\x_{1}+ax_{2} +x_{3}+...+x_{n}=1\\.\\.\\.\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+ax_{n}=1 \end{cases}}\)

1) \(\displaystyle{ a=1}\) - widać jak rozwiązać

2) dla pozostałych a piszemy macierz układu. Na początek dodajmy wszystkie wiersze do pierwszego.
Wtedy pierwszy wiersz macierzy ma postać

\(\displaystyle{ a+n-1\quad a+n-1\quad ...\quad a+n-1\ |\ n}\).

Zatem jeśli \(\displaystyle{ a=1-n}\), to układ jest sprzeczny (bo mamy \(\displaystyle{ 0\ 0\ ...\ 0\ |\ n}\))

3) dla pozostałych a można podzielić pierwszy wiersz przez \(\displaystyle{ a+n-1}\) - i dalej łatwo wychodzi.

Pozdrawiam.