Matematyka.pl

mam pytanko do całki

\(\displaystyle{ \int \cos ^{4}x dx}\)

a mianowicie czy da sie ja rozwiazac nie wykorzystujac wzoru na calke z cos ntego stopnia

tylko jakos ja rozbic ? bo nie dokonca rozumiem rozwiazanie zawarte tutaj 82336.htm

z gory dzieki

-- 19 gru 2009, o 00:38 --

ok juz zrobilem skozystalem ze wzoru na kwadrat cosinusa

\(\displaystyle{ \int{\cos^{4}{x} \mbox{d}x }=\int{\cos{x}\cos^{3}{x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int{\cos^{4}{x} \mbox{d}x }=\sin{x}\cos^{3}{x}+3\int{\sin{x}\cos^{2}{x}\sin{x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int{\cos^{4}{x} \mbox{d}x }=\sin{x}\cos^{3}{x}+3\int{\cos^{2}{x}\sin^{2}{x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 4\int{\cos^{4}{x} \mbox{d}x }=\sin{x}\cos^{3}{x}+3\int{\cos^{2}{x}\sin^{2}{x} \mbox{d}x }+3\int{\cos^{2}{x}\cos^{2}{x} \mbox{d}x }}\)


\(\displaystyle{ 4\int{\cos^{4}{x} \mbox{d}x }=\sin{x}\cos^{3}{x}+3\int{\cos^{2}{x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int{\cos^{2}{x} \mbox{d}x }=\sin{x}\cos{x}+ \int{\sin{x}\sin{x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 2\int{\cos^{2}{x} \mbox{d}x }=\sin{x}\cos{x}+ \int{\sin{x}\sin{x} \mbox{d}x }+\int{\cos^{2}{x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 2\int{\cos^{2}{x} \mbox{d}x }=\sin{x}\cos{x}+ \int{ \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 2\int{\cos^{2}{x} \mbox{d}x }=\sin{x}\cos{x}+ x}\)

\(\displaystyle{ 4\int{\cos^{4}{x} \mbox{d}x }=\sin{x}\cos^{3}{x}+ \frac{3}{2} \left(\sin{x}\cos{x}+ x \right)}\)

\(\displaystyle{ \int{\cos^{4}{x} \mbox{d}x }= \frac{1}{4} \sin{x}\cos^{3}{x}+ \frac{3}{8} \sin{x}\cos{x}+ \frac{3}{8} x +C}\)

Jeżeli nie chcesz całkować przez części w ten sposób
to skorzystaj z tego że

\(\displaystyle{ \cos^{2}{x}= \frac{1+\cos{2x}}{2}}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ t=\tan{x}}\)

niewiele pomoże ale w ramach ćwiczenia też można z niego skorzystać