Matematyka.pl

Witam,
wlasnie wrocilem z proby zaliczenia nizej przedstawionego zadania i niestety, znow nie dobrze
Czy ktos moglby mi pomoc z tym zadaniem?

Na podstawie próby \(\displaystyle{ X_1,X_2,...,X_n}\) wyznaczyć estymator
nieobciążony o minimalnej wariancji wartości oczekiwanej zmiennej
losowej X, której rozkład wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ P_p(X=1)=p^2}\)
\(\displaystyle{ P_p(X=0)=1-p^2}\)

Rozumiem, że forum nie jest do rozwiazywania prac domowych, ale po prostu nie wiem jak zaczac Licze na jakies wskazowki, linki, cokolwiek
Rozwiazuje praktycznie podobnie jak w tej ksiazce na str. 35 (przyklad na samym doole)


Jednak cos dalej nie jest tak Prosilbym o pomoc, krok po kroku co mam zrobic aby rozwiazac te zadanie sil juz nie mam ;(

pozdrawiam serdecznie
Jacek

[ Dodano: Sro Cze 14, 2006 2:57 pm ]
kurcze ludzie, choc napiszcie jak zaczac, z czego skorzystac

Ustalmy statystykę dostateczną i zupełną \(\displaystyle{ \qquad T=\sum_{i=1}^n X_i \\}\)

Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania \(\displaystyle{ \qquad \large E_p \hat g(T) = E_p X \qquad}\) gdzie niewiadomą jest \(\displaystyle{ \qquad \hat g \qquad}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \qquad E_p X = p^2 \qquad}\) a statystyka \(\displaystyle{ T}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \qquad P_p (T=t)={ n \choose k }(p^2)^t (1-p^2)^{n-t}}\)

Wynika stąd, że w dalszym ciągu będziemy badać wyrażenie

\(\displaystyle{ \qquad \sum_{t=0}^n \hat g(t) {n \choose t}(p^2)^t (1-p^2)^{n-t} = p^2 \qquad}\) podstawiając \(\displaystyle{ \qquad v=p^2 \qquad}\) dostajemy
\(\displaystyle{ \qquad \sum_{t=0}^n \hat g(t) {n \choose t}(v)^t (1-v)^{n-t} = v \qquad}\) co można zapisać
\(\displaystyle{ \qquad \sum_{t=0}^n \hat g(t) {n \choose t}(\frac{v}{1-v})^t = \frac{v}{(1-v)^n} \qquad}\) kolejne podstawienie narzuca się samoistnie \(\displaystyle{ \qquad u = \frac{v}{1-v} v = \frac{u}{1+u}}\)
\(\displaystyle{ \qquad \sum_{t=0}^n \hat g(t) {n \choose t} u^t = u(1+u)^{n-1}\qquad}\)równoważnie
\(\displaystyle{ \qquad \sum_{t=0}^n \hat g(t) {n \choose t} u^t = u\sum_{t=0}^{n-1}{n-1 \choose t}u^t \qquad}\) ostatecznie \(\displaystyle{ \qquad \sum_{t=0}^n \hat g(t) {n \choose t} u^t = \sum_{t=1}^{n-1}{n-1 \choose t-1}u^{t}\\}\)

Porównując współczynniki dostajemy, że \(\displaystyle{ \qquad\hat g(T) = \frac{T}{n}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} = \overline X}\)

dlaczego w pierwszym równaniu ta suma jest równa \(\displaystyle{ p ^{2}}\)?