Matematyka.pl

Witam
Mam problem z zadaniem
Wykaż metodą indukcji matematycznej, że dla każdej liczby naturalnej n, spełniającej podany warunek, zachodzi nierówność:
a) \(\displaystyle{ \frac{1}{1 ^{2} } + \frac{1}{2 ^{2} } +\frac{1}{3 ^{2} }+...+\frac{1}{n ^{2} }<2- \frac{1}{n}}\) dla\(\displaystyle{ n \ge 2}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1} }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }+\frac{1}{ \sqrt{3} }+...+\frac{1}{ \sqrt{n} }> \sqrt{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+1}>1}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
Z góry dzięki za pomoc

Dołączam się do prośby ale czy mógł by ktoś to wytłumaczyć bez skrótów .

Mógłby to ktoś wyjaśnić?

b) https://matematyka.pl/152166.htm
c) nawet bez indukcji... Dla n=1 nierówność jest spełniona.Dla n>1 ciąg wyspepujacy po lewej stronie jest rosnacy, a prawa strona jest stala.

a)\(\displaystyle{ \frac{1}{1 ^{2} } + \frac{1}{2 ^{2} } +\frac{1}{3 ^{2} }+...+\frac{1}{n ^{2} }<2- \frac{1}{n}}\), gdy \(\displaystyle{ \n \ge 2}\)

Rozwiązanie:
Dowód indukcyjny.
1.Sprawdzenie nierówności gdy n=2

\(\displaystyle{ \frac{1}{1 ^{2} }+ \frac{1}{2 ^{2} }<2- \frac{1}{2} \\
1,25<1,5}\)
Prawda.
2. Wykaże, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej\(\displaystyle{ n \ge 2}\), jeśli
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 ^{2} } + \frac{1}{2 ^{2} } +\frac{1}{3 ^{2} }+...+\frac{1}{n ^{2} }<2- \frac{1}{n}}\), to
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 ^{2} } + \frac{1}{2 ^{2} } +\frac{1}{3 ^{2} }+...+\frac{1}{n ^{2} }+\frac{1}{(n+1) ^{2} }<2- \frac{1}{n+1}}\).

Istotnie dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 2}\) zachodzi :
\(\displaystyle{ n<n+1 \Leftrightarrow \frac{1}{n+1}< \frac{1}{n} \Leftrightarrow \frac{1}{(n+1)^2}< \frac{1}{n(n+1)} \Leftrightarrow \frac{1}{(n+1)^2}< \frac{(n+1)-n}{n(n+1)} \Leftrightarrow \frac{1}{(n+1)^2}< \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}\\\\}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 ^{2} } + \frac{1}{2 ^{2} } +\frac{1}{3 ^{2} }+...+\frac{1}{n ^{2} }<2- \frac{1}{n} \qquad\hbox{(1)}\\\frac{1}{(n+1)^2}< \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}\qquad\hbox{(2)}}\)
Sumując stronami nierówności (1) i (2) otrzymujemy :
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 ^{2} } + \frac{1}{2 ^{2} } +\frac{1}{3 ^{2} }+...+\frac{1}{n ^{2} }+\frac{1}{(n+1) ^{2} }<2- \frac{1}{n+1}}\)
Zatem na podstawie zasady indukcji matematycznej nierówność ta jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 2}\)
Pozdro.

chce zobaczyc jak wyglada punkt c tak dokladniej-- 21 lut 2010, o 19:48 --co z tym przykladem c? b.prosze o pomoc

Podpinam się pod przedmówcę. Rozwiązując pkt. c doszedłem do czegoś takiego:


\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+1}>1}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>1}\)

\(\displaystyle{ \frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}>1}\)

\(\displaystyle{ \frac{13}{12}>1}\)

Założenie indukcyjne

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{3n+1}>1}\)

Teza indukcyjna

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\frac{1}{n+4}+...+\frac{1}{3n+4}>1}\)

Dowód indukcyjny

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\frac{1}{n+4}+...+\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+4}>1+\frac{1}{n+1} \Leftrightarrow \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+4}>1+\frac{1}{3n+4}>1+\frac{1}{n+1}}\)


Zupełnie nie wiem jak to dalej rozwinąć. Podejrzewam że mogłem się gdzieś tutaj pomylić. Bardzo proszę o jakąś pomoc.