Matematyka.pl

Przyjmij
\(\displaystyle{ u=-\frac{1}{x}\\
v=arcsinx\\
u'=\frac {1}{x^2}\\ v'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)

no tak i dochodze do

\(\displaystyle{ - \frac{1}{x}arcsinx+\int \frac{1}{x \sqrt{1-x ^{2} } }}\)


czyli biwa calka to bedzie

\(\displaystyle{ \int \frac{(lnx) ^{'} }{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\)

nie wiem czy tak i czy czegos nie pomieszalem i jezeli ktosby mial chwilke czasu to prosilbym o wstawienie rozwiazania z gory dzieki-- 16 gru 2009, o 14:37 --no tak i dochodze do

\(\displaystyle{ - \frac{1}{x}arcsinx+\int \frac{1}{x \sqrt{1-x ^{2} } }}\)


czyli biwa calka to bedzie

\(\displaystyle{ \int \frac{(lnx) ^{'} }{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\)

nie wiem czy tak i czy czegos nie pomieszalem i jezeli ktosby mial chwilke czasu to prosilbym o wstawienie rozwiazania z gory dzieki

\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{x \sqrt{1-x ^{2} } } \mbox{d}x }}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ t= \sqrt{1-x^2}}\)

\(\displaystyle{ t^2=1-x^2}\)

\(\displaystyle{ 2t \mbox{d}t=-2x \mbox{d}x}\)

\(\displaystyle{ x^2=1-t^2}\)

\(\displaystyle{ -t \mbox{d}t=x \mbox{d}x}\)

\(\displaystyle{ \frac{t}{t^2-1} \mbox{d}t= \frac{1}{x} \mbox{d}x}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{t}{t^2-1} \cdot \frac{1}{t} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{1}{t^2-1} \mbox{d}t}}\)

a to już przez rozkład na ułamki proste

\(\displaystyle{ \int{ \frac{1}{t^2-1} \mbox{d}t}= \int{ \frac{A}{t-1} \mbox{d}t}+ \int{ \frac{B}{t+1} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ At+A+Bt-B=1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=0 \\ A-B=1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} B=-A \\ 2A=1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} B=-A \\ A= \frac{1}{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} \int{ \frac{1}{t-1} \mbox{d}t}- \frac{1}{2} \int{ \frac{1}{t+1} \mbox{d}t }}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right| +C}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\ln \left| \frac{ \sqrt{1-x^2} -1}{ \sqrt{1-x^2} +1} \right| +C}\)