Matematyka.pl

\(\displaystyle{ e^2= \left( \frac{x+1}{x} \right) ^{x+1}}\)
Czy da się to rozwiązać, a w najgorszym wypadku sprowadzić do jakiejś funkcji specjalnej? Z góry dzięki za pomoc.

Odpowiem sobie po ponad siedmiu latach – co mi szkodzi. Nawet nie pamiętam, gdzie znalazłem tamten problem.
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{x} \right) ^{x+1} = \exp\ln \left( 1+\frac{1}{x} \right) ^{x+1} = \exp \left( \left( x+1 \right) \ln \left( 1+\frac{1}{x} \right) \right)}\),
czyli równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ e^2 = \exp \left( \left( x+1 \right) \ln \left( 1+\frac{1}{x} \right) \right) \\
2 = \left( x+1 \right) \ln \left( 1+\frac{1}{x} \right) \right)}\)
Przynajmniej jest „zwykłe” równanie nieliniowe, tj. nie ma zmiennej jednocześnie w podstawie i w wykładniku. Można to teraz numerycznie rozwalać bisekcją, zasadą Banacha, metodą Newtona–Raphsona itp.

Analitycznego rozwiązania może nie być i co gorsza to może być nierozstrzygalne, czy ono istnieje. Podobno jeśli w wyrażeniu symbolicznym są eksponensy lub logarytmy, to w przekształcaniu ich da się jakoś zakodować problem stopu.

O podobnych problemach możesz poczytać tu :