Matematyka.pl

Krawędziom sześcianu przypisujemy kolejne liczby nieparzyste od 1 do 23 (każdej krawędzi inną liczbę). Wykaż, że nie można tego zrobić w taki sposób, by w każdym wierzchołku sześcianu spotkały się krawędzie, dla których suma przypisanych im liczb jest równa 35.





Można to potraktować jako ciąg arytmetyczny i że suma nie dzieli się przez 35? W podpowiedziach napisano, żeby zrobić dowód nie-wprost, może ktoś powiedzieć jak się robi taki dowód ?

Zakłada się, że można to zrobić i dochodzi się do sprzeczności.

-- 16 grudnia 2009, 00:57 --

Możemy założyć, że jest to prawdą. Oznacza to, że przy wszystkich wierzchołkach mamy łącznie liczbę: \(\displaystyle{ 8*35}\).
Ponieważ użyliśmy liczb \(\displaystyle{ 1,3,..,23}\) to ich suma to: \(\displaystyle{ 0,5(1+23)*12=6*24}\). Mamy sprzeczność, bo \(\displaystyle{ 6*24 \neq 8*35}\).-- 16 grudnia 2009, 01:01 --Można też zrobić wprost. Np: używamy liczb \(\displaystyle{ 1,3,...,23}\). Ich suma to: \(\displaystyle{ 144}\). Liczba 144 nie dzieli sie bez reszty przez 35, więc takimi liczbami nie można zrobić, by przy każdym wierzchołku było 35.

no to chyba dobrze bym to zrobił

tak

Ja spróbowałem zrobić to w ten sposób:
\(\displaystyle{ 2n-1, 2n+1, 2n+3}\) to kolejne liczby nieparzyste. Suma wartości przy jednym wierzchołku wynosi zatem \(\displaystyle{ 6n+3}\). Gdy przystawię to do \(\displaystyle{ 6n-9 \neq 35}\)
wyjdzie mi \(\displaystyle{ 6n \neq 32}\) a 32 nie jest podzelne przez 6, bo \(\displaystyle{ n \in C}\). Czy takie rozumowanie jest prawidłowe?

Nie, ponieważ zakładasz, że przy wierzchołku spotkają się krawędzie, którym przypisane są 3 KOLEJNE liczby nieparzyste,a wcale tak nie musi być. w jednym wierzchołku mogą być np: 1, 15, 21.

Czyli rozumiem, że tylko te dwa pokazane wcześniej sposoby są prawidłowe, czy jest jeszcze jakaś inna metoda rozumowania, którą można dojść do prawidłowego wyniku?

Jest wiele dróg, ale to zadanie jest na tyle krótkie, że głównym pomysłem jest to, że sumując liczby na wszystkich krawędziach nie otrzymamy wielokrotności 35.

Problem polega jednak na tym, że do każdej krawędzi przypisane są 2 wierzchołki. Więc jeśli w ten sposób, to udowodnić należy, że 144*2 \(\displaystyle{ \neq}\)35*8.