Zordon pisze:Zapraszam wszystkich ambitnych do zmierzenia się z takim zadaniem :
Pokazać, że dowolne dwa zbiory przeliczalne uporządkowane gęstymi relacjami porządku bez końców są izomorficzne.
Nie jestem zainteresowany, gdyż to twierdzenie nie jest dla mnie zaskakujące- tu jest dużo założeń, więc to nie dziwne jak dla mnie (a jedno twierdzenie teorii mnogości mogę mieć bez dowodu). Równoważna postać tego twierdzenia, to że dowolny zbiór liniowo uporządkowany, nieskończony, przeliczalny, gęsty, bez końców (bez elementu najmniejszego i największego) jest podobny (izomorficzny- nie lubię tego słowa ) do zbioru liczb wymiernych z naturalnym porządkiem (
\(\displaystyle{ \Longrightarrow}\) zbiór liczb wymiernych spełnia te założenia.
\(\displaystyle{ \Longleftarrow}\) na podobnej zasadzie + przechodniość podobieństwa ).
Natomiast chciałbym zastosować to twierdzenie, aby udowodnić ciekawy fakt odnośnie dowolnego zbioru liniowo uporządkowanego, co najwyżej przeliczalnego. Otóż ten fakt mówi, że taki dowolny ustalony zbiór liniowo uporządkowany jest podobny do pewnego podzbioru zbioru liczb wymiernych (z naturalnym porządkiem na tych liczbach wymiernych).
Dowód:
Niech
\(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) będzie dowolnym zbiorem liniowo uporządkowanym, co najwyżej przeliczalnym. Jeśli
\(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem skończonym, i ma
\(\displaystyle{ n}\) elementów, to
\(\displaystyle{ X}\) jest podobny do
\(\displaystyle{ \left\{ 1,2,\ldots, n\right\}}\), i dowód jest zakończony. Pozostaje założyć, że zbiór
\(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony. Będziemy chcieli zastosować to twierdzenie (w równoważnej drugiej wersji ) do
\(\displaystyle{ \left( X \times \QQ, \le _{l} \right),}\) gdzie
\(\displaystyle{ \le _{l}}\) jest porządkiem leksykograficznym danego porządku
\(\displaystyle{ \le}\) na
\(\displaystyle{ X}\), i naturalnego porządku na zbiorze liczb wymiernych .
Ponieważ
\(\displaystyle{ X}\) jest równoliczny z
\(\displaystyle{ \NN,}\) I
\(\displaystyle{ \QQ}\) jest równolicznym z
\(\displaystyle{ \NN}\), to również ich iloczyn kartezjański
\(\displaystyle{ X \times \QQ}\) jest równoliczny z
\(\displaystyle{ \NN.}\) Ponieważ zbiór
\(\displaystyle{ X}\) jest uporządkowany liniowo przez
\(\displaystyle{ \le,}\) i zbiór liczb wymiernych jest uporządkowany liniowo przez naturalny porządek, więc ich porządek leksykograficzny jest liniowy. Pokażemy teraz, że ten porządek leksykograficzny jest gęsty. Weźmy dwie pary
\(\displaystyle{ \left( x _{1}, a_{1} \right);\left( x_{2},a_{2} \right)}\) z
\(\displaystyle{ X\times \QQ,}\), takie, że
\(\displaystyle{ \left( x _{1},a _{1} \right) <_{l}\left( x _{2},a _{2} \right).}\) Rozważmy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ x _{1} \neq x _{2}.}\) W takim wypadku z definicji porządku leksykograficznego dostajemy
\(\displaystyle{ x _{1}<x _{2}.}\) Ponieważ
\(\displaystyle{ a _{1}+1 \in \QQ,}\) więc
\(\displaystyle{ \left( x _{1},a_{1}\right) <_{l}\left( x_{1}, a_{1}+1 \right) <_{l} \left( x _{2},a _{2} \right)}\) (z definicji porządku leksykograficznego), co oznacza, że pomiędzy parami
\(\displaystyle{ \left( x _{1},a _{1} \right);\left( x _{2},a _{2} \right)}\) jest para pośrednia. W pozostałym przypadku
\(\displaystyle{ x _{1}=x _{2},}\) oznaczmy ten element jako
\(\displaystyle{ x.}\) Wtedy z definicji porządku leksykograficznego
\(\displaystyle{ a _{1}<_{Q} a _{2}.}\) Ponieważ
\(\displaystyle{ \le _{Q}}\) jest porządkiem gęstym, więc istnieje
\(\displaystyle{ a _{3} \in \QQ,}\) spełniające
\(\displaystyle{ a _{1}<_{\QQ} a _{3}<_{\QQ} a _{2},}\) skąd
\(\displaystyle{ \left( x,a_{1} \right) < _{l}\left( x,a _{3} \right)< _{l}\left( x,a _{2} \right),}\) czyli również pomiędzy parami
\(\displaystyle{ \left( x _{1},a _{1} \right);\left( x_{2},a _{2} \right)}\) jest para pośrednia. A więc porządek
\(\displaystyle{ \le _{l}}\) jest gęsty. Pozostało sprawdzić, że w
\(\displaystyle{ \left( X\times \QQ, \le _{l} \right)}\) nie ma elementu najmniejszego ani największego. Aby pokazać ostatnie, ustalmy dowolną parę
\(\displaystyle{ \left( x, n \right) \in X \times \QQ.}\) Nie może ona być elementem największym, bo możemy do niej dobrać parę
\(\displaystyle{ \left( x, n+1\right) \in X \times \QQ,}\) gdzie
\(\displaystyle{ \left( x,n\right)< _{l}\left( x,n+1\right).}\) Więc nie ma tu elementu największego, w sposób podobny można sprawdzić, że nie ma tu elementu najmniejszego.
Wobec czego spełnione są wszystkie założenia naszego twierdzenia, i w związku z czym
\(\displaystyle{ \left( X \times Q, \le _{l} \right)}\) jest podobny do zbioru
\(\displaystyle{ \left( Q, \le _{Q}\right)}\) . Oczywiście
\(\displaystyle{ \left( X \times \left\{ 0\right\}, \le _{l}\right)}\) jest podobny do
\(\displaystyle{ \left( X, \le \right).}\) Ponieważ
\(\displaystyle{ \left( X \times \QQ, \le _{l}\right)}\) jest podobny do
\(\displaystyle{ \left( \QQ, \le _{Q} \right),}\) więc jego podzbiór
\(\displaystyle{ X \times \left\{ 0\right\}}\) jest podobny do obrazu tego zbioru przez podobieństwo( chyba tak, ale coś pewny nie jestem ), czyli do zbioru
\(\displaystyle{ A \subset \QQ}\), z naturalnym porządkiem
\(\displaystyle{ \le _{A}}\) na liczbach wymiernych, z przechodniości podobieństwa
\(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) jest podobny do
\(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right).\square}\) Dobrze
Można też łatwo udowodnić( też używając twierdzenia z tego tematu), że suma porządkowa dwóch zbiorów liniowo uporządkowanych podobnych do zbioru liczb wymiernych z naturalnym porządkiem jest dalej podobna do
\(\displaystyle{ \QQ.}\)