porządki liniowe gęste

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: porządki liniowe gęste

Post autor: matmatmm »

Tomasz Tkaczyk pisze: 18 gru 2009, o 02:19 Niech \(\displaystyle{ A, B}\) będą przeliczalnymi liniowymi gęstymi porządkami bez końców.

Niech \(\displaystyle{ A = \lbrace a_{n}: n< \omega \rbrace}\),

Niech \(\displaystyle{ B = \lbrace b_{n}: n < \omega \rbrace}\).

Niech \(\displaystyle{ A_{n} = \lbrace a_{i}: i \le n \rbrace}\).

Niech \(\displaystyle{ B_{n} = \lbrace b_{i}: i \le n \rbrace}\).

Załóżmy ponadto, że \(\displaystyle{ a_{0} < a_{1}}\), \(\displaystyle{ b_{0} < b_{1}}\).

Stworzymy indukcyjnie rosnący ciąg funkcji \(\displaystyle{ f_{n}: A_{n} \rightarrow B_{n}}\).

Niech \(\displaystyle{ f_{0}(a_{0}) = b_{0}}\) i \(\displaystyle{ f_{1}(a_{1}) = b_{1}}\), oraz

\(\displaystyle{ f_{0} \subset f_{1}}\).

Krok indukcyjny.

Załóżmy, że mamy zdefiniowane funkcje \(\displaystyle{ f_{0}, f_{1}, ..., f_{2n}, f_{2n + 1}}\) tak, że

\(\displaystyle{ f_{i-1} \subset f_{i}, f_{i}: A_{i} \rightarrow B_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i \le 2n+1}\).

Zdefiniujemy funkcje \(\displaystyle{ f_{2n+2}, f_{2n+3}}\).

Niech \(\displaystyle{ f_{2n+1} \subset f_{2n+2}}\), oraz określmy

\(\displaystyle{ f_{2n+2}(a_{t}) = b_{k}}\), gdzie \(\displaystyle{ t}\) jest najmniejsze takie, że \(\displaystyle{ a_{t}}\) nie jest w dziedzinie funkcji \(\displaystyle{ f_{2n+1}}\) i \(\displaystyle{ k}\) jest takie, aby \(\displaystyle{ f_{2n+2}}\) była rosnąca. Można takie \(\displaystyle{ k}\) znaleźć, bo porządek \(\displaystyle{ B}\) jest gęsty.

Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie najmniejsze takie, że nie istnieje \(\displaystyle{ l \le 2n+2}\) takie, że \(\displaystyle{ b_{m} \in f_{l}(A_{l})}\).

Niech \(\displaystyle{ f_{2n+2} \subset f_{2n+3}}\).
Określmy \(\displaystyle{ f_{2n+3}(a_{j}) = b_{m}}\), gdzie \(\displaystyle{ j}\) jest takie, aby \(\displaystyle{ f_{2n+3}}\) była rosnąca. Można takie \(\displaystyle{ j}\) znaleźć, bo porządek \(\displaystyle{ A}\) jest gęsty.
Coś mi się nie zgadza w tym dowodzie. Mam wrażenie, że w ogóle nie zachodzi tutaj zapowiadana zależność \(\displaystyle{ f_n:A_n\rightarrow B_n}\). Wyjaśni ktoś?
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: porządki liniowe gęste

Post autor: Jakub Gurak »

Wiemy, że suma porządkowa dwóch zbiorów typu zbioru liczb wymiernych jest dalej zbiorem typu zbioru liczb wymiernych. Ponieważ suma porządkowa jest operacją łączną, więc stosując oczywistą indukcję otrzymamy, że suma porządkowa skończenie wielu zbiorów typu zbioru liczb wymiernych jest dalej zbiorem typu zbioru liczb wymiernych. Przedwczoraj wykazałem, że również suma porządkowa (a właściwie relacja będąca odpowiednikiem tej sumy dla przeliczalnie wielu zbiorów) przeliczalnie wielu zbiorów typu zbioru liczb wymiernych jest zbiorem typu zbioru liczb wymiernych. Wykazałem też wczoraj, że suma porządkowa dwóch zbiorów typu zbioru liczb niewymiernych jest dalej zbiorem typu zbioru liczb niewymiernych. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Przypomnijmy najpierw:

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ \left( A_n, \le _{n} \right) _{n \in \NN}}\) przeliczalną (równoliczną ze zbiorem \(\displaystyle{ \NN}\)) rodziną podzbiorów liniowo uporządkowanych, tzn. \(\displaystyle{ A_n \subset X}\), dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\), gdzie zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) i \(\displaystyle{ A_m}\) są rozłączne, dla \(\displaystyle{ n \neq m}\), to na sumie tych zbiorów \(\displaystyle{ S:= \bigcup_{n \in \NN} A_n}\) relacja:

\(\displaystyle{ x \le _{S} y \Longleftrightarrow \left( x,y \in A_n, \hbox{ dla pewnego } n \in \NN \hbox{ i } x \le _{n} y\right) \hbox{ lub } \left( x \in A_n, y \in A_m, \hbox{ dla } n<m\right);}\)

(jest to odpowiednik sumy porządkowej dla przeliczalnie wielu zbiorów);

wtedy taka suma porządkowa \(\displaystyle{ \le _S}\) jest liniowym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ S}\)- można to dość łatwo udowodnić.

Przejdźmy do naszych zadań:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie niepustym zbiorem.
Rozważmy przeliczalną (równoliczną ze zbiorem \(\displaystyle{ \NN}\)) rodzinę jego podzbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ \left( X_n, \le _{n} \right) _{n \in \NN} }\), gdzie \(\displaystyle{ X_n \subset X}\), dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\), na zbiorach rozłącznych. Załóżmy jeszcze, że każdy taki zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ X_n}\) jest podobny do zbioru liczb wymiernych z naturalnym porządkiem. Wtedy również zbiór \(\displaystyle{ S:=\bigcup_{n \in \NN} X_n }\) ze sumą porządkową \(\displaystyle{ \le _S}\) jest podobny do zbioru liczb wymiernych z naturalnym porządkiem.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ:

\(\displaystyle{ \left( \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ} \right) \oplus \left( \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ} \right) \approx \le _{\QQ} \oplus \le _{\QQ} \approx \le _{\QQ} \approx \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\oplus \le _{ \left\{ 1\right\}} \oplus \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ} \approx \le _{\left( 0,1\right)} ^{\QQ};}\)

więc:

\(\displaystyle{ \NN\otimes \left[ \left( 0,1\right) \cap \QQ \right] \approx \le_{\left( 0,1\right) } ^{\QQ} \oplus \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ} \oplus \ldots \approx \left( \le_{\left( 0,1\right) } ^{\QQ} \oplus \le_{\left( 0,1\right) } ^{\QQ} \right)\oplus \le_{\left( 0,1\right) } ^{\QQ} \oplus\ldots \approx \left[ \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\oplus \le _{ \left\{ 1\right\} } \oplus \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ} \right]\oplus \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\oplus \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ} \oplus \ldots \approx \\ \approx \left( \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\oplus \le _{ \left\{ 1\right\}} \right)\oplus \left[ \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\oplus \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\right] \oplus \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\oplus \ldots \approx \left[ \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\oplus \le _{ \left\{ 1\right\}}\right]\oplus \left[ \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\oplus \le _{ \left\{ 1\right\}}\oplus \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\right]\oplus \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\oplus \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\oplus\ldots \approx \\ \approx \left[ \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\oplus \le _{ \left\{ 1\right\}}\right]\oplus \left[ \le _{\left( 0,1\right) } ^{\QQ}\oplus \le _{ \left\{ 1\right\}}\right] \oplus \ldots \approx \NN\otimes \left[ \left( 0,1\right) ^{\QQ} \oplus\left\{ 1\right\} \right]= \NN\otimes\left( 0,1\right] ^{\QQ} \approx \left( 0,1\right] ^{\QQ} \oplus \left( 0,1\right] ^{\QQ} \oplus \ldots= \QQ_+.}\)


czyli:

\(\displaystyle{ \NN\otimes \left[ \left( 0,1\right) \cap \QQ\right] \approx \QQ_+.}\)

Wykażemy teraz, że zbiór liniowo uporządkowany:

\(\displaystyle{ \left( S=\bigcup_{n \in \NN} X_n, \le _S\right), }\)

jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left( \left( 0,1\right) \cap \QQ \right)}\)
(z porządkiem leksykograficznym naturalnych liniowych porządków).

W tym celu definiujemy funkcję:

\(\displaystyle{ \alpha : \bigcup_{n \in \NN} X_n \rightarrow \NN \times \left( \left( 0,1\right) \cap \QQ \right).}\)

Zauważmy najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n \in \NN} X_n}\), to \(\displaystyle{ x \in X_n}\), dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\), a ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \left\{ X_n\right\} _{n \in \NN}}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych, więc taki zbiór jest tylko jeden, oznaczmy go jako: \(\displaystyle{ \left[ x\right] _{S}}\), tzn. dla \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n \in \NN}X_n}\) oznaczmy ten zbiór jako: \(\displaystyle{ \left[ x\right] _{S}.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n \in \NN} X_n}\), to \(\displaystyle{ x \in X_n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\)

(wiemy już, że taki zbiór jest dokładnie jeden); ponieważ z założenia

\(\displaystyle{ X_n \approx \QQ \approx \left( 0,1\right) \cap \QQ}\),

więc \(\displaystyle{ X_n \approx \left( 0,1\right) \cap \QQ}\), istnieje więc podobieństwo:

\(\displaystyle{ f_n: X_n \rightarrow \left( 0,1\right) \cap \QQ}\), i wtedy przypisujemy:

\(\displaystyle{ x\stackrel{ \alpha }{ \rightarrow } \left( n, f_n\left( x\right) \right) \in \NN \times \left( \left( 0,1\right) \cap \QQ\right).}\)

i w ten sposób otrzymujemy funkcję:

\(\displaystyle{ \alpha: \bigcup_{n \in \NN} X_n \rightarrow \NN \times \left( \left( 0,1\right) \cap \QQ \right)}\).

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest podobieństwem.

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
DOWÓD TEGO FAKTU::    
W podobny sposób dowodzimy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na'.
A więc funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest bijekcją.

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} X_n}\), na mocy przytoczonego faktu o sumie porządkowej przeliczalnie wielu zbiorów, taka suma porządkowa jest zbiorem liniowo uporządkowanym, i zbiór \(\displaystyle{ \NN \times \left( \left( 0,1\right) \cap \QQ \right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowany przez porządek leksykograficzny dwóch naturalnych liniowych porządków, więc pozostaje pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest monotoniczna.
DOWÓD TEGO FAKTU::    
A zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest podobieństwem, i:

\(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} X_n \approx \NN \times \left( \left( 0,1\right) \cap \QQ \right) \approx \QQ_+}\), a zatem: \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN}X_n \approx \QQ_+.}\)

Ale zbiór liczb wymiernych dodatnich jest podobny do zbioru liczb wymiernych (na mocy tytułowego twierdzenia o zbiorach podobnych do zbioru liczb wymiernych), a zatem (z przechodniości podobieństwa):

\(\displaystyle{ \left( S= \bigcup_{n \in \NN} X_n, \le _S\right) \approx \left( \QQ, \le \right).\square }\) 8-)


Wykażemy jeszcze, że suma porządkowa dwóch zbiorów typu zbioru liczb niewymiernych jest dalej zbiorem typu zbioru liczb niewymiernych.

Nim to zrobimy, przypomnijmy, że jeśli mamy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) oraz podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\), z porządkiem \(\displaystyle{ \le}\) zawężonym do elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) ( wtedy zbiór \(\displaystyle{ A}\), jako podzbiór zbioru liniowo uporządkowanego jest to zbiór liniowo uporządkowany, oznaczmy go jako \(\displaystyle{ \left( A, \le _A \right)}\) ), to porządek rozszerzający \(\displaystyle{ \le}\) zawężony do dopełnienia zbioru \(\displaystyle{ A}\) nazywamy uzupełnieniem zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( A, \le _A\right) }\), i oznaczany jako \(\displaystyle{ \le' _A.}\)

Łatwo jest zauważyć, że jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) mamy podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\), to uzupełnienie uzupełniania zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest równe temu danemu zbiorowi \(\displaystyle{ A}\).

Również, jeśli mamy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\), oraz dwa podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) z porządkiem odpowiednio \(\displaystyle{ \le}\) zawężonym do odpowiednich zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), i jeśli jeden ze zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest rozszerzeniem drugiego, to dla ich uzupełnień również jedno z tych uzupełnień jest rozszerzeniem drugiego ( :!: ale proszę nie przywiązywać się nadmiernie do tego związku, bo ten związek nie ma charakteru odpowiedniości, jest to związek przez 'naprzemienność', tzn. gdy zbiór \(\displaystyle{ A}\) rozszerza zbiór \(\displaystyle{ B}\), to uzupełnienie zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest rozszerzane przez uzupełnienie zbioru
\(\displaystyle{ B}\), a gdy zbiór \(\displaystyle{ B}\) rozszerza zbiór \(\displaystyle{ A}\), to uzupełnienie zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest rozszerzane przez uzupełnienie zbioru \(\displaystyle{ A}\), ale mamy tutaj formalny 'oszukańczy' związek ).

Mamy też taki fakt, który zaraz tutaj wykorzystamy, że jeśli mamy sumę porządkową dwóch zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ \left( A, \le _A\right) }\) i \(\displaystyle{ \left( B, \le _{B} \right) }\), gdzie zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne, i jeśli mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ A_2 \subset A}\) i \(\displaystyle{ B_2 \subset B}\), to uzupełnienie sumy porządkowej tych dwóch zbiorów do sumy porządkowej \(\displaystyle{ A\oplus B}\) jest równe sumie porządkowej uzupełnień tych dwóch zbiorów do odpowiednich zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), tzn.:

\(\displaystyle{ \left( A_2 \cup B_2\right) ' _{A\oplus B}= A'_2 \oplus B'_2.}\)

Jest to dość prosty fakt, i on przyda nam się.

Przejdźmy do dowodu naszego faktu:

Wykażemy, że:

\(\displaystyle{ \left( \RR \setminus \QQ \right) \oplus \left(\RR \setminus \QQ \right) \approx \RR \setminus \QQ.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ \RR\oplus \left\{ 1\right\} \oplus \RR \approx \RR.}\)

Mamy:

\(\displaystyle{ \left( \RR \setminus \QQ\right) \oplus \left( \RR \setminus \QQ\right) = \QQ' _{\RR} \oplus \QQ' _{\RR}= }\)

i ponieważ uzupełnienie sumy porządkowej dwóch zbiorów jest sumą porządkową uzupełnień, więc to jest równe:

\(\displaystyle{ = \left( \QQ \oplus \QQ \right) ' _{\RR\oplus \RR} \approx \left( \QQ\oplus \left\{ 1\right\} \oplus \QQ\right) ' _{\RR\oplus \left\{ 1\right\} \oplus \RR} \approx}\)

i ponieważ \(\displaystyle{ \RR\oplus \left\{ 1\right\} \oplus \RR \approx \RR}\), oraz \(\displaystyle{ \QQ\oplus \left\{ 1\right\}\oplus \QQ \approx\QQ}\), więc jest to zbiór podobny do:

\(\displaystyle{ \QQ' _{\RR}= \RR \setminus \QQ.\square}\) :lol: 8-)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: porządki liniowe gęste

Post autor: Dasio11 »

Jakub Gurak pisze: 29 maja 2023, o 18:43Wykażemy, że:

\(\displaystyle{ \left( \RR \setminus \QQ \right) \oplus \left(\RR \setminus \QQ \right) \approx \RR \setminus \QQ.}\)

[...]

\(\displaystyle{ = \left( \QQ \oplus \QQ \right) ' _{\RR\oplus \RR} \approx \left( \QQ\oplus \left\{ 1\right\} \oplus \QQ\right) ' _{\RR\oplus \left\{ 1\right\} \oplus \RR} \approx}\)

i ponieważ \(\displaystyle{ \RR\oplus \left\{ 1\right\} \oplus \RR \approx \RR}\), oraz \(\displaystyle{ \QQ\oplus \left\{ 1\right\}\oplus \QQ \approx\QQ}\), więc jest to zbiór podobny do:

\(\displaystyle{ \QQ' _{\RR}= \RR \setminus \QQ.\square}\) :lol: 8-)
To nie jest poprawny argument.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: porządki liniowe gęste

Post autor: Jakub Gurak »

Dlaczego :?:
I jak to poprawić??
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: porządki liniowe gęste

Post autor: Dasio11 »

Nie ma twierdzenia mówiącego, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są porządkami liniowymi a \(\displaystyle{ X_0 \subseteq X}\) i \(\displaystyle{ Y_0 \subseteq Y}\) takimi ich podzbiorami, że \(\displaystyle{ X \cong Y}\) i \(\displaystyle{ X_0 \cong Y_0}\), to \(\displaystyle{ X \setminus X_0 \cong Y \setminus Y_0}\) - nietrudno znaleźć kontrprzykład. Taka teza zachodzi przy mocniejszym założeniu, że istnieje izomorfizm \(\displaystyle{ f : X \to Y}\), taki że \(\displaystyle{ f[X_0] = Y_0}\) (tj. gdy o relacjach \(\displaystyle{ X \cong Y}\) i \(\displaystyle{ X_0 \cong Y_0}\) zaświadcza jeden, a nie dwa niezależne izomorfizmy).

Możesz wykazać następujący fakt:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ f_0 : X_0 \to Y_0}\) jest izomorfizmem liniowych porządków (np. gęstych, przeliczalnych, bez końców). Wtedy \(\displaystyle{ f_0}\) ma jednoznaczne przedłużenie do izomorfizmu \(\displaystyle{ f : X \to Y}\), gdzie \(\displaystyle{ X_0 \subseteq X}\) oraz \(\displaystyle{ Y_0 \subseteq Y}\) to uzupełnienia Dedekinda porządków \(\displaystyle{ X_0}\) i \(\displaystyle{ Y_0}\), odpowiednio.
Skądinąd wiadomo, że \(\displaystyle{ \QQ \cong (0, \infty) \cap \QQ}\) (patrz pierwszy post tego wątku). Wiadomo też, że \(\displaystyle{ \RR}\) jest uzupełnieniem \(\displaystyle{ \QQ}\) oraz \(\displaystyle{ (0, \infty)}\) jest uzupełnieniem \(\displaystyle{ \QQ \cap (0, \infty)}\). Zatem na mocy faktu istnieje izomorfizm \(\displaystyle{ f : \RR \to (0, \infty)}\), taki że \(\displaystyle{ f[\QQ] = \QQ \cap (0, \infty)}\). Wtedy można wywnioskować, że \(\displaystyle{ \RR \setminus \QQ \cong (0, \infty) \setminus \QQ}\).

W podobny sposób dowodzimy, że \(\displaystyle{ \RR \setminus \QQ \cong (-\infty, 0) \setminus \QQ}\). Stąd

\(\displaystyle{ (\RR \setminus \QQ) \oplus (\RR \setminus \QQ) \cong \big( (-\infty, 0) \setminus \QQ \big) \oplus \big( (0, \infty) \setminus \QQ \big) = \RR \setminus \QQ}\).
ODPOWIEDZ