Matematyka.pl

hej kotki, mam takie łatwe zadanie, które z jakiegoś powodu stanowi dla mnie zagwozdkę...
otóż, zbadać zbieżność ciągu rekurencyjnego i jeżeli jest zbieżny, to policzyć granicę:

\(\displaystyle{ x_{1}=0}\)
\(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x_{n} +1}{x_{n}+2}}\)

z góry dziękuję ^^'

Zbieżny i ograniczony ma granicę.

Moim problemem jest to, że nie wiem jak pokazać, że ciąg ten jest ograniczony. I nie, nie zadowoli mnie odpowiedź 'indukcyjnie".

gdyby mial granice to wtedy \(\displaystyle{ x _{n} \rightarrow g \leftarrow x_{n+1}}\). I teraz podstawiasz sobie i wyliczasz g. Oczywiscie jest to bardzo nieformalne i dowodem to nie jest. Jest to taka wskazowka co bedzie ograniczeniem. Bo co lepszego bedzie ograniczeniem jak nie granica, co? i jak juz sobie policzysz granice to wtedy indukcja do raczki i smigasz dowod kotku

oj, oj, właśnie nie wiem, jak poprowadzić tą indukcję. ciąg wygląda banalnie, jednak indukcja nie idzie już tak łatwo. tzn, pewnie idzie pewnie, jednak jakiś motek wełny obija mi się po głowie i skutecznie przesłania mi proste rozwiązanie.

mógłby mi to ktoś pokazać? ^^'

pokaz jak stosujesz ta indukcje to Cie poprowadzimy-- 14 grudnia 2009, 22:12 --pokaz jak stosujesz ta indukcje to Cie poprowadzimy

no więc tak. chcemy pokazać, że ciąg jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5}-1 }{2}}\).
z dołu jest ograniczony przez zero, to widać.

I. \(\displaystyle{ x_{1}= 0 \le \frac{ \sqrt{5}-1 }{2}}\)
II. \(\displaystyle{ x_{n} \le \frac{ \sqrt{5}-1 }{2} \Rightarrow x_{n+1} \le \frac{ \sqrt{5}-1 }{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x_{n}+1}{x_{n}+2} = 1 - \frac{1}{x_{n} +2}}\)

jak widać, taką indukcją "na chama" się nie da, bo szacując mam:

\(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{x_{n} +2} \ge}\) od czegoś ( niech będzie \(\displaystyle{ 1 -\frac{1}{\frac{ \sqrt{5}-1 }{2} +2})}\)

czyli, trzeba zrobić coś niestandardowego, a tu już pomysłu nie mam.

Hm a wiesz że jak uprościsz to wyrażenie to wyjdzie to co trzeba?

wyjdzie, że \(\displaystyle{ x_{n} \le \frac{ \sqrt{5}-1 }{2} \Rightarrow x_{n+1} \ge \frac{ \sqrt{5}-1 }{2}}\) czyyli źle.

Zobacz, ze masz minusy i mianowniki. I tutaj sie mylisz piszac nierownosc. Zwroc na to uwagę

oo, teraz to widzę. dziękuję.

\(\displaystyle{ 0\le x_n \le 1}\)
nie potrzebujesz bardzo ścisłej ograniczoności