Matematyka.pl

Witam, muszę zrobić zadanie z fizyki, do którego potrzebna jest znajomość pochodnych cząstkowych (do obliczenia niepewności maksymalnych). Znam jedynie "zwykłe" pochodne a o cząstkowych nie słyszałem. Mam takie dane:


\(\displaystyle{ {x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5}}\)

które są kolejnymi pomiarami

Wiem, że trzeba przyjąć, że jest to funkcja \(\displaystyle{ y = f({x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5})}\) ale nie wiem co z tym zrobić.

Może ktoś wytłumaczyć "krok po kroku" jak policzyć taką pochodną?

\(\displaystyle{ \Delta y = \left| {\frac{{\partial f}}{{\partial {x_1}}}\Delta {x_1}} \right|}\)

Pozdrawiam

Idea jest prosta. Jeśli chcesz obliczyć pochodną funkcji f względem \(\displaystyle{ x_1}\), to (przy założeniu, że ta pochodna istnieje) we wzorze funkcji f traktujesz \(\displaystyle{ x_1}\) jak zmienną (argument tej funkcji), a wszystkie pozostałe literki jako stałe - i przy takiej interpretacji liczysz z funkcji "zwykłą" pochodną z f względem \(\displaystyle{ x_1}\).

\(\displaystyle{ \Delta x_1}\) jest podana - to jest maksymalny błąd pomiaru \(\displaystyle{ x_1}\) (czyli dokładność urządzenia pomiarowego).

Pozdrawiam.

W Twoim przypadku to wyrażenie na błąd będzie wyglądało tak:

\(\displaystyle{ \Delta y = \left| {\frac{{\partial f}}{{\partial {x_1}}} \right| \Delta {x_1}}
+ \left| {\frac{{\partial f}}{{\partial {x_2}}} \right| \Delta {x_2}} + ...}\) i tak do \(\displaystyle{ x_5}\)

A pochodne cząstkowe liczysz tak jak zwykłe, tylko, że gdy np. liczysz \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial {x_1}}}\) to zmienną jest \(\displaystyle{ x_1}\) a pozostałe traktujesz jakby były stałymi i analogicznie dla pozostałych zmiennych.

A w internecie szukaj takich stron jak ta poniżej i podobnych.

Dzięki za szybką odpowiedź, jednak nie do końca rozumiem jak to policzyć, bo nie wiem jak rozpisać licznik i mianownik. Czy mógłby ktoś rozpisać tą pochodną dla jednego pomiaru żebym mógł zobaczyć jak to się liczy w praktyce?

Pozdrawiam i z góry dzięki

Oki, zatem coś banalnego:

\(\displaystyle{ f(x_1,x_2) = x_1^2+x_2 x_{1} \\
\frac{ \partial f }{ \partial{x_1} } = 2 x_{1} + x_{2}\\
\frac{{\partial{f}}}{{\partial{x_2}}} = x_1}\)

A co jeśli funkcja ma postać np taką:
\(\displaystyle{ $$Q = p \cdot t \cdot \Delta g$$}\)

Gdzie p ma bardzo dużą wartość (np siedmiocyfrowa liczba).

\(\displaystyle{ $$\eqalign{
& \left. {\left| {\frac{{{\partial _Q}}}
{{{\partial _g}}}} \right.} \right|\Delta x = ((p \cdot t \cdot g)' - (p \cdot t \cdot {g_0})')\Delta x = \cr
& \left( {p \cdot t - 0} \right)\Delta x = p \cdot t \cdot \Delta x \cr} $$}\)

\(\displaystyle{ $$\Delta x$$}\) jest równa około 0,5j


Wtedy niepewności wychodzą kolosalne (np cztero, pięciocyfrowe liczby)

PS. funkcja G jest tylko przykładowa żeby zobrazować ideę problemu. Nie jest to żaden wzór fizyczny itp.

A jakie jest Twoje pytanie w związku z tym? Bo jeśli pytaniem jest

Tom555 pisze:A co jeśli funkcja ma postać np taką:

to odpowiedź brzmi: nic Wzór pozostaje w mocy.

Pozdrawiam,

Ok, dzięki o to chodziło. Pytam bo wydawało mi się że za duże mi wychodzą te niepewności

Pozdrawiam