Matematyka.pl

Czy podana liczba jest podzielna przez 9 a) \(\displaystyle{ 7^{2007}}\) - 2007; b) \(\displaystyle{ 7^{2008}}\) - 2008; c) \(\displaystyle{ 7^{2006}}\) - 2006; d) \(\displaystyle{ 7^{2005}}\) - 2005 ? Z góry dziękuje za pomoc !!!!

a) napewno nie, bo pierwsze wyrażenie nie jest podzielne, przez 9, natomiast drugie jest.

Ad. b),c),d)

Wystarczy rozpatrywać reszty z dzielenia przez 9, co jakiś czas one się powtarzają. Należy ustalić dla jakich potęg. I sprawdzić. Dodatkowo wiemy, że:

\(\displaystyle{ 7^n=(9-2)^n=9(...)+(-1)^n\cdot 2^n}\) Zatem rozpatrując podzielność \(\displaystyle{ 7^{1000}-1}\) Wystarczy sprawdzić podzielność dla \(\displaystyle{ 2^{1000}-1}\)

b) Wystarczy rozpatrzeć, czy \(\displaystyle{ 2^{2008}-1}\) jest podzielne przez 9.

c) Wystarczy rozpatrzeć, czy \(\displaystyle{ 2^{2008}+1}\) jest podzielne przez 9.

d) Wystarczy rozpatrzeć. czy \(\displaystyle{ 2^{2004}-1}\) jest podzielne przez 9.

Nie rozumiem tego wzoru, zwłaszcza tej części : 9 (...)+\(\displaystyle{ (-1)^{n}}\)×\(\displaystyle{ 2^{n}}\) i skąd wiadomo, że wystarczy sprawdzić podzielność dla \(\displaystyle{ 2^{1000}}\) - 1. Wróce jeszcze do tego wzoru - skąd się wzięła tam - 1 ?

liczby są podzielne przez 9 jezeli suma ich cyfr jest podzielna przez 9
najpierw rozpatrujesz czy liczba 7^{2007} jest podzielna przez 9.
1) 7^{3}×7^{2004}=7^{2007}
2)7^{3}≡1mod(9)
3)7^{{3}^{668}}≡1mod(9)
reszte sobie wyprowadzisz

Pokaże ci na przykładzie b)

\(\displaystyle{ 7^{2008}-2008=(9-2)^{2008}-(1+2007)={2008 \choose 0}9^{2008}2^{0}-{2008 \choose 1}n^{2007}2^{1}+...+(-1)^n{2008 \choose 2008}7^{0}2^{2008}-1-2007}\)

Tam skorzystałem ze wzoru Newtona. n-1 pierwszych wyrazów dzieli się przez 9, bo każdy to iloczyn 9 z czymś. Natomiast 2007 z w/w własnosci (2+7=9) również dzieli się przez 9. Zatem dzieląc przez 9 wyrażenie, te wyrazy dadzą reszte 0. Sprawdzamy, czy reszta z pozostałych będzie równa 0, czyli badamy podzielność \(\displaystyle{ 2^{2008}-1}\).