Matematyka.pl

Witam,
proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Punkt obrony przeciwlotniczej dysponuje pięcioma rakietami, z których każda naprowadzana jest na cel niezależnie od pozostałych i każda zawsze trafia do celu. W zasięgu obrony przeciwlotniczej pojawiły się trzy nieprzyjacielskie samoloty. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie samoloty zostaną trafione.

Z góry dziękuję za odp.

Szukam korepetytora z matematyki przygotowującego do matury rozszerzonej z matematyki

Zbadajmy najpierw ile jest wszystkich możliwości, każda rakieta może wycelować w dowolny samolot, zatem: Teraz zobaczmy na ile sposobów 5 wyrzutni wyceluje we wszystkie 3 samoloty:
Wybieramy 3 z 5 wyrzutni, i każda wystrzelona z niej rakieta ma trafić w jeden samolot, te same trzy rakiety mogą trafić w te same 3 samoloty, ale mogą to zrobić w różnej kolejności. Pozostałe dwie wycelowują w dowolny samolot.

Faktycznie, po pierwsze błąd jest już w samej omedze

\(\displaystyle{ \Omega = 3^5}\)

A druga część się kupy nie trzyma po ponownym przeczytaniu Wiele przyporządkowań rakiet samolotom się powtarza... Na razie nie wiem jak to poprawić.

Rozwiązał to już ktoś?

Liczymy prawd. na zd. przeciwne.
Szansa na to, że 1. samolot nie został trafiony to \(\displaystyle{ (\frac{2}{3})^5}\). Liczymy tu też sytuacje, gdzie wszystkie rakiety poszły w 2. samolot (3. cały), a także all w 3. samolot (2. pozostał cały).
To samo się tyczy prawd. na nietrafienie 2. samolotu, też nietrafienie 3. samolotu.
Jeśli dodamy prawd.-a na nietrafienie dla każdego samolotu, to policzymy sytuacje typu "wszystko w jednego" dwukrotnie (widać?). Czyli należy odjąć prawd. na sytuacje, gdzie wszystko poszło w 1 samolot.
\(\displaystyle{ 3 \cdot ( \frac 23 ) ^5 - 3 \cdot ( \frac 13 )^5}\)
Ostateczny wynik to 1-[wynik wyżej]

A moc omegi ile wynosi? I czemu na początku liczymy również sytuacje, że wszystkie rakiety poszły w 1 samolot skoro jest 2/3 (czyli 2 samoloty zostały trafione).

Kto powiedział, że 2 zostały trafione?
\(\displaystyle{ 2/3}\) to szansa na nie-trafienie wybranego samolotu. Czyli trafienie dowolnego z dwóch pozostałych. Czyli w 5 takich próbach może się zdarzyć, że jeden z 2 pozostałych też pozostanie nietrafiony.
Moc omegi? \(\displaystyle{ 3^5}\)