Matematyka.pl

Mam do zrobienia zadnie, dochodzę do połowy i nie wiem co dalej . Proszę pomóżcie!
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej prawdziwe jest twierdzenie
\(\displaystyle{ [(1+2+3...+n)^2=1^{3}+2^{3}+3^{3}...+n^{3}]}\)

krok 1

sprawdzamy czy twierdzenie jest prawdziwe dla n=1
\(\displaystyle{ 1^{3}=1^{2}}\)
L=P
krok 2 zakładamy , że twierdzenie jest prawdziwe dla n=k
\(\displaystyle{ [(1+2+3...+k)^{2}=1^{3}+2^{3}+3^{3}...+k^{3}]}\)
sprawdzamy czy twierdzenie jest prawdziwe dla n = k+1
\(\displaystyle{ [(1+2+3...+k+(k+1))^{2}=1^{3}+2^{3}+3^{3}...+k^{3}+(k+1)^{3}]}\)

tutaj korzystam z założenia
\(\displaystyle{ [L=(1+2+..+k+(k+1))^{2}=(1+2+...+k)^{2}+2*(1+2+...+k)(k+1)+(k+1)^{2}]}\)

i nie wiem jak to teraz doprowadzić do końca
PROSZĘ POMÓŻCIE!!!

skoro masz
\(\displaystyle{ (1+2+...+k)^{2}=1^{3}+2^{3}+...+k^{3}}\)
to zostanie do udowodnienia:
\(\displaystyle{ (k+1)^{3}=2(1+2+...+k)(k+1)+(k+1)^{2}}\)
Jak sobie to poskracasz to wyjdzie Ci oczywisty wzór:
\(\displaystyle{ 1+2+3+...+k= \frac{k(k+1)}{2}}\)
, który zakładam, że potrafisz udowodnić.
Pozdrawiam.

dziękuję bardzo za pomoc