Badanie żbieżności całek

[toppix]

Jak zbadać zbieżność całek(bez obliczania):
a)
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{0} \frac{x}{3+5x ^{2} }}\)

b)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{ x^{13} }{ \left( x ^{5} +x ^{3} +1\right) ^{3} }}\)

c)
\(\displaystyle{ \int_{e ^{2} }^{ \infty } \frac{1}{xln \left( lnx\right) }}\)

[klaustrofob]

przez porównanie z odpowiednimi szeregami, w oparciu o kryterium całkowe. np. pierwszą całkę można przepisać jako \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^0\ldots = - \int_0^{+\infty}\ldots}\) (bo f-kcja podcalkowa jest nieparzysta) i zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum \frac{n}{3+5n^2}}\). drugą i trzecią analogicznie.

[toppix]

No dzięki ale czy można tak policzyć jak ja to zrobiłem czyli np druga całka:
\(\displaystyle{ \left| \frac{x ^{13} }{27x ^{15} } \right| \le \frac{x ^{13} }{ \left( x ^{5} +x ^{3} +1\right) ^{3} }}\)
i policzyc całke \(\displaystyle{ \frac{1}{27} \int_{0}^{ \infty } \left| \frac{1}{x ^{2} }\right|}\)
Wycodzi ze jest ona rozbieżna.
Pytanie: czy te obliczenia sa poprawne i czy mozna tak to zadanie rozwiazać i czy można teraz stwierdzic na mocy kryterium porownawczego ze wyjsciowa całka jest tez rozbieżna?
z góry dziękuje

[klaustrofob]

musisz to trochę inaczej oszacować, bo tak otrzymałeś całkę niewłaściwą w 0! wartość bezwzględna tez nie jest potrzebna, bo funkcja jest nieujemna w przedziale całkowania. poza tym: całka \(\displaystyle{ \int\frac{1}{x^2}}\) jest rozbieżna? ciekawe...

[toppix]

No to możę tak:
Całka ta równa sie:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{x ^{13} }{ \left( x ^{5} +x ^{3}+1 \right) ^{3} }dx}\)+\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{x ^{13} }{ \left( x ^{5} +x ^{3}+1 \right) ^{3} }dx}\)
Pierwsza całka jest oznaczona wiec zajmuje sie druga:
Szacuje
\(\displaystyle{ \frac{x ^{13} }{ \left( x ^{5} +x ^{3}+1 \right) ^{3} } \le \frac{x ^{13} }{x ^{15} }}\) dla x od 1 do \(\displaystyle{ + \infty}\)
I licze całke:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{1}{x ^{2} } dx}\) i wychodzi ze jest zbiezna.
Dobrze to zrobiłem?
Moge teraz z kryterium porownawczego stwierdzic ze wyjściowa całka jest zbieżna bezwzględnie?

[klaustrofob]

dobrze. ale: argument "pierwsza jest oznaczona" jest poprawny, o ile rzeczywiście nie ma z całką problemów. akurat tu nie ma, ale co np z całką \(\displaystyle{ \int_0^{\infty}\frac{1}{x^2}}\)?. i jeszcze: dla rozważanego przypadku zbieżność zwykła to to samo, co bezwzględna, bo funkcja jest nieujemna.

[toppix]

No własnie po to skorzystałem z twierdzenia o addytywnosci całki wzgledem przedziałow całkowania zeby nie miec problemow z całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{1}{x ^{2} }dx}\) .
I jeszce jedno pytanie: dlaczego według ciebie całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{1}{x ^{2} }dx}\) jest zbieżna?

[klaustrofob]

właśnie cały czas zwracam uwagę, że nie jest. przeanalizuj uważnie moje wypowiedzi.