Matematyka.pl

Wykaż, że jeżeli w trójkącie ABC zachodzi równość:

\(\displaystyle{ \frac{b}{\cos{x}} = \frac{c}{\cos{y}}\)

to ten trójkąt jest trójkątem równoramiennym.


[Zlodiej] - Edytowany w ramach wprowadzania estetyki postów

\(\displaystyle{ \large\frac{b}{\cos{x}} = \frac{c}{\cos{y}}\ \Longrightarrow\ (\frac{b}{c})^2 = (\frac{\cos{x}}{\cos{y}})^2 = \frac{1 - \sin^2{x}}{1 - \sin^2{y}}}\)

Na mocy tw. Sinusów:

\(\displaystyle{ \frac{b}{c} = \frac{\sin{x}}{\sin{y}}}\)

więc:

\(\displaystyle{ \frac{\sin^2{x}}{\sin^2{y}}= \frac{1 - \sin^2{x}}{1 - \sin^2{y}}}\)

po przemnożeniu mamy:

\(\displaystyle{ \sin^{x} - (\sin{x}\cdot\sin{y})^2 = \sin^2{y} - (\sin{x}\sin{y})^2}\)

Zatem, skoro sinus w \(\displaystyle{ [0,\pi]}\) jest nieujemny, to \(\displaystyle{ \sin{x} = \sin{y}}\).

Zatem albo:

x=y, wówczas gra, bo oba kąty nie moga być rozwarte.

albo x=180-y, ale wtedy jest źle, bo ich suma, to 180, a jeszcze jest przecie kąt A...

Stąd trójkąt jest równoramienny.


[Zlodiej] - Edytowany w ramach wprowadzania estetyki postów