Matematyka.pl

Wyznaczyć stałą a aby funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} lnx \Rightarrow 1 \le x \le a \\ 0 \Rightarrow pozostałe_x \end{cases}}\)
była gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Obliczyć P(x>1)

Skorzystałem z warunku całkowego (całka po zbiorze =1) licząc całkę oznaczoną od 1 do a z lnx (bo dla pozostałych x f(x)=0, więc nie ma wpływu) i wyszło mi:
\(\displaystyle{ a ^{2}=e ^{a}}\)

chris_stargard pisze:Wyznaczyć stałą a aby funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} lnx \Rightarrow 1 \le x \le a \\ 0 \Rightarrow pozostałe_x \end{cases}}\)
była gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Obliczyć P(x>1)

Skorzystałem z warunku całkowego (całka po zbiorze =1) licząc całkę oznaczoną od 1 do a z lnx (bo dla pozostałych x f(x)=0, więc nie ma wpływu) i wyszło mi:
\(\displaystyle{ a ^{2}=e ^{a}}\)

Oczywiście, źle wycałkowałeś logarytm... Zobacz sobie, jaka jest całka nieoznaczona z logarytmu, a potem dobrze podstaw granice.

całka z lnx to
\(\displaystyle{ xlnx-x}\)
podstawiam granice
\(\displaystyle{ alna-a-(ln1-1)=alna-a-0+1=aln-a+1}\)
podstawiam do =1
\(\displaystyle{ lna=1 \Rightarrow a=e}\)

teraz dobrze? wycałkowałem dobrze, tylko miałem pewien czeski błąd

bo w takim razie jak policzyć f(x>1)?

chris_stargard pisze:całka z lnx to
\(\displaystyle{ xlnx-x}\)
podstawiam granice
\(\displaystyle{ alna-a-(ln1-1)=alna-a-0+1=aln-a+1}\)
podstawiam do =1
\(\displaystyle{ lna=1 \Rightarrow a=e}\)

teraz dobrze? wycałkowałem dobrze, tylko miałem pewien czeski błąd

bo w takim razie jak policzyć f(x>1)?

Masz policzyć \(\displaystyle{ \Pr(X>1)= \int_{1}^{ \infty } f(x)\;dx=\int_{1}^{ e } f(x)\;dx=1}\).