Matematyka.pl

Czy mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać te zadania korzystając z kongruencji?:

1.Udowodnij ,że \(\displaystyle{ 7|2222^{5555}+5555^{2222}}\)

2. Udwodnij ,że jeśli n jest całkowitą dodatnią , to \(\displaystyle{ 21|2^{4^{n}}+5}\)

1) Najprosciej chyba bedzie skorzystac z malego twierdzenia Fermata, tj.

\(\displaystyle{ 2222^6 \equiv 1\pmod {7}}\) oraz \(\displaystyle{ 5555^6\equiv 1\pmod{7}}\), dalej sobie potegujesz stronami, mnozysz etc., poradzisz sobie na pewno.

2) Zauwaz, ze \(\displaystyle{ 2^4\equiv -5\pmod{21}}\) oraz, ze \(\displaystyle{ (-5)^4\equiv -5\pmod{21}}\), czyli \(\displaystyle{ 2^{4^n}\equiv -5\pmod{21}}\), a to juz konczy dowod. Szczegoly sobie dopracuj.