Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \Large a_{n}=2+3+3^{2}+...+3^{n}}\)
\(\displaystyle{ \Large n\in N}\)

oblicz:
\(\displaystyle{ \Large \lim_{x\to\infty}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}}\)

Fakt, poprawiam.

\(\displaystyle{ 2a_n=3^n+1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to }(\frac{3^n+1}{3^{n+1}+1})=\frac{1}{3}}\)

Rozumiem, że przy tym limesie, to ma być n dążące do nieskończoności.
Najpierw proponuję podzielić licznik i mianownik przez 3^(n+1), wówczas
w liczniku i mianowniku pojawia się szereg geometryczny o q= 1/3
i pierwszym wyrazie róznym 1/3. (żeby to łatwiej zobaczyć można przepisać wszystkie wyrazy w odwrotnej kolejności, od największego do najmniejszego).
Pierwszy wyraz ciągu (po przepisaniu ostatni) równy 2, nie jest składnikiem szeregu,
a po podzieleniu licznika i mianownika przez 3^(n+1) staje się on niekończenie mały.
Teraz stosujemy wzór na szereg, otrzymujemy 1/2.
W mianowniku zostaje jeszcze największy wyraz (po dzieleniu jest on równy 1).
Końcowo dostajemy:
[ frac{�}{1+�}] czyli 1/3.

Mam nadzieje, że cokolwiek wyjaśniłem!

Eee, może mi ktoś jasno powiedzieć, jak użyć / czemu nie działa TeX?

hmm... Pospieszylem się, ale poprawiłem głupią pomyłke ...

fractal,

Hmm, bo wogóle nie zadeklarowałeś włączenia TeXa ?.

Zresztą sprawdź link wyświetlany w moim poście. Znajdziesz tam informacje odnośnie TeXa na naszym forum.

tez mi wyszla 1/3 na poczatku...ale myslalem ze to jest zle bo w tym ciagu na samym poczatku jest jeszcze 2...czy to nie zmieni wyniku?

Na link zaglądałem, a jakże. Musiało mi to umknąć, od razu zjechałem troche w dół
Dzięki, teraz wszystko jasne.

Odnośnie zadania:
2 nie zmienia wyniku, ponieważ jest niekończnie mała przy np. \(\displaystyle{ 3^{\infty}}\)