Grupy ilorazowe, dwa dowody

[czlowiek_widmo]

1.) Udowodnić, że jeśli grupa G/C(G) jest cykliczna, to G jest abelowa.
2.) Udowodnić, że G/C(G) jest izomorficzna z Inn(G)

prosiłbym o rozwiązania krok po kroku

[BettyBoo]

1) Jeśli G/C(G) jest cykliczna, to \(\displaystyle{ G/C(G)= \langle aG\rangle,\ a\in G}\). Wobec tego dowolny element g grupy G jest postaci \(\displaystyle{ a^nc,\ n\in\mathbb{Z},\ c\in C(G)}\)

Weźmy dwa dowolne elementy grupy G. Wtedy

\(\displaystyle{ g_1g_1=(a^nc_1)(a^mc_2)=a^n(a^mc_2)c_1=a^ma^nc_2c_1=(a^mc_2)(a^nc_1)=g_2g_1}\)

Równości wynikają z faktu, że \(\displaystyle{ c_i\in C(G)}\), czyli że są przemienne z dowolnymi elementami grupy oraz z własności potęg i łączności.

2) Niech \(\displaystyle{ f:G\to Inn(G),\ \forall\ g\in G \ f(g)=i_g}\), tzn f przyporządkowuje każdemu elementowi automorfizm wewnętrzny wyznaczony przez g. Jest to homomorfizm, ponieważ \(\displaystyle{ f(gh)=i_{gh}=i_gi_h=f(g)f(h)}\). Jądrem tego homomorfizmu są wszystkie elementy g, takie że
\(\displaystyle{ f(i_g)=Id\ \Leftrightarrow \forall\ x\in G\quad i_g(x)=x\ \Leftrightarrow \ g^{-1}xg=x\ \Leftrightarrow \ xg=gx}\)

a więc jądrem jest centrum grupy. Zatem z (drugiego) twierdzenia o homomofizmach mamy tezę.

Pozdrawiam.