Dolnośląskie Mecze Matematyczne 2009/10 - Licea - runda I

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
mcmcjj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 13 kwie 2009, o 11:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1 raz

Dolnośląskie Mecze Matematyczne 2009/10 - Licea - runda I

Post autor: mcmcjj » 5 gru 2009, o 12:20

1. Ile jest liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez każdą swoją cyfrę ?

2. Przekątne trapezu równoramiennego dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy i przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ 120^{o}}\). Dłuższa podstawa ma 12 cm. Oblicz obwód trapezu.

3. O której godzinie wskazówki zegara tworzą po raz pierwszy w ciągu doby kąt \(\displaystyle{ 170^{o}}\) ?

4. Jaka jest reszta z dzielenia liczby, której zapis w systemie dziesiętnym składa się z 2009 dwójek, przez 9 ?

5. Przed 14 laty Zuzanna miała tyle lat, ile wynosiła suma cyfr roku jej urodzenia. W którym roku się urodziła ?

6. Z przystani A wyrusza z biegiem rzeki statek do przystani B, odległej od A o 140 km. Po upływie 1 godziny wyrusza za nim łódź motorowa, dopędza statek w połowie drogi, po czym wraca do przystani A w tym samym momencie, w którym statek przybija do przystani B. Wyznaczyć prędkość statku i prędkość łodzi w wodzie stojącej, wiedząc, że prędkość prądu rzeki wynosi 4 km/godz.

7. Jaki jest stosunek objętości bryły otrzymanej po połączeniu odcinkami środków sąsiednich ścian sześcianu do objętości wyjściowego sześcianu.

8. Ile dzielników naturalnych ma iloczyn stu różnych liczb pierwszych ?

9. Jakie asymptoty ma funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{2-x}{x+b}}\), która przyjmuje wartości ujemne na zbiorze \(\displaystyle{ ( -\infty , -5) \cup ( 2 , \infty )}\) ?

10. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy ma długość p, a krawędź boczna jest dwa razy dłuższa. Jaki jest kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa ?
Ostatnio zmieniony 6 gru 2009, o 16:26 przez mcmcjj, łącznie zmieniany 1 raz.

adek05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 3 kwie 2007, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 68 razy

Dolnośląskie Mecze Matematyczne 2009/10 - Licea - runda I

Post autor: adek05 » 6 gru 2009, o 13:54

Mógłbyś podać pełną treść 4? Reszta w dzieleniu przez...?

mcmcjj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 13 kwie 2009, o 11:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1 raz

Dolnośląskie Mecze Matematyczne 2009/10 - Licea - runda I

Post autor: mcmcjj » 6 gru 2009, o 16:27

mcmcjj pisze:(...)4. Jaka jest reszta z dzielenia liczby, której zapis w systemie dziesiętnym składa się z 2009 dwójek, przez 9 ?(...)
Przepraszam, już poprawiłem.

-- 8 gru 2009, o 18:59 --

zad. 6

x- prędkość statku

y - prędkość łodzi

t - czas, w którym statek płynął od A do B

Układ równań dla ruchu łodzi:

\(\displaystyle{ \begin{cases}(y+4)(\frac{t}{2}-1)=70\\(y-4)\cdot\frac{t}{2}=70\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}(y+4)(t-2)=140\\(y-4)\cdot\ t=140\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ t=\frac{140}{y-4}\\(y+4)(\frac{140}{y-4}-2)=140\\\frac{140y}{y-4}-2y+\frac{560}{y-4}-8=140\\140y-2y(y-4)+560=148(y-4)\\-2y^2=-1152\\y^2=576\\y=24}\).

\(\displaystyle{ t=\frac{140}{20}=7\\(x+4)\cdot7=140\\x=16}\).

Prędkość statku wynosi \(\displaystyle{ 16\frac{km}{h}}\), a prędkość łodzi \(\displaystyle{ 24\frac{km}{h}}\).-- 8 gru 2009, o 18:59 --Pomożecie z innymi zadaniami ?

Ciorny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 14 gru 2009, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krotoszyn

Dolnośląskie Mecze Matematyczne 2009/10 - Licea - runda I

Post autor: Ciorny » 14 gru 2009, o 19:56

zad4.

Reszta z dzielenia liczby przez 9 jest taka jak reszta z dzielenia sumy cyfr tej liczby.
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2009=4018\\ 4+0+1+8=13}\)
reszta z dzielenia 13 przez 9 wynosi 4.

zad5.

\(\displaystyle{ 2009-14=1995}\)
Największą sumę cyfr przed 1995 miały lata 1899 i 1989.
\(\displaystyle{ 1+9+8+9=27 \\ 1995-27=1968}\)
Urodziła się najwcześniej w 1968, czyli 1899 odrzucamy. Niech: a-wiek w 1995, b-suma cyfr roku ur. Chcemy, żeby były równe. Dla 1968 mamy:
\(\displaystyle{ a=27 \wedge b=24}\)
Czyli w latach 60-tych równość nie zajdzie. Rozważmy 1970:
\(\displaystyle{ a=25 \wedge b=17 \\ a-x=b+x\\ x=4\\ 1970+4=1974}\)

adek05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 3 kwie 2007, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 68 razy

Dolnośląskie Mecze Matematyczne 2009/10 - Licea - runda I

Post autor: adek05 » 15 gru 2009, o 21:15

1.
Ukryta treść:    
2.
Ukryta treść:    
3.
Ukryta treść:    
7.
Ukryta treść:    
8.
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ