Matematyka.pl

Proszę o rozwiązanie (wydaje się proste, ale tak naprawdę nie jest )
\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1}\)

[Odp. \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} +2k\pi \vee x=\pi +2k\pi}\)]

,,Jak zwykle" - dołóż jedynkę trygonometryczną.

Też tak pomyślałem, tylko jak to dalej uprościć?

\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1}\)

\(\displaystyle{ \sin x=1+\cos x}\)

\(\displaystyle{ (1+\cos x)^2+\cos^2x=1}\)

\(\displaystyle{ 2\cos^2x + 2\cos x=0}\)

\(\displaystyle{ 2\cos x(\cos x +1)=0}\)

Widziałeś to?

sin2x pisze: \(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1}\)

Dzięki nmn,
wszystko jasne

snajper0208 pisze:\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=1 \backslash ()^2 \\
\sin^2x -2\sin x\cos x + \cos^2x=1 \\
2\sin x\cos x=-1 \\
\sin2x=-1 \\}\)

Jak już zauważyła @nmn coś przegapiłeś (pomijam błąd rachunkowy).

Podnosząc do kwadratu dołożyłbyś rozwiązania równania (-1)=1; stosując Twoją metodę trzeba dodatkowo założyć \(\displaystyle{ \sin x-\cos x\neq -1}\) i wtedy powinno zagrać.

\(\displaystyle{ 2\cos x(\cos x +1)=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x=0 \vee \cos x=-1}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+k\pi \vee x=\pi+2k\pi}\)

A w odpowiedzi jest:
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+}\)2\(\displaystyle{ k\pi \vee x=\pi+2k\pi}\)
co zgadza się z wykresem, więc co jest źle?

Zlekceważyłem to i nie robiłem do końca (a szkoda); nie wiem czy bym zauważył - trzeba dołożyć warunek który napisałem we wcześniejszym poście (i tak jak wyżej to robić - mądrość po fakcie).

Teraz, skoro \(\displaystyle{ \cos x=0}\), to z wyjściowego ma być \(\displaystyle{ \sin x=1}\) (a to masz co \(\displaystyle{ 2k\pi}\)).

Wielkie dzięki za pomoc

Ja zrobiłam tak: \(\displaystyle{ \sin x = 1 + \cos x}\) i następnie podstawiłam do "jedynki trygonometrycznej. Wtedy też niestety wyszło \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} + k\pi }\). Czy jeśli dołożymy założenie, że w równaniu \(\displaystyle{ \sin x = 1 + \cos x}\) obie strony są nieujemne, tzn. de facto tylko sinus, bo prawa strona jest zawsze nieujemna (ze względu na to, że później podnosimy do kwadratu), to będzie dobrze? (Wynik się wtedy zgadza, ale chodzi mi o samą ideę.)

Idea dobra - tylko (co napisałem ponad 11 lat temu) trzeba to zauważyć.

Trzeba odrzucić te z otrzymanych rozwiązań, które dają ujemnego sinusa.

Żeby uniknąć kłopotów można zrobić tak:
\(\displaystyle{ 2\sin\frac x2\cos\frac x2-\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2=\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2}\)
co po uproszczeniu daje
\(\displaystyle{ \left(\sin\frac x2-\cos\frac x2\right)\cos\frac x2=0}\)

Co daje dwie serie rozwiązań:
A) \(\displaystyle{ \cos\frac x2=0 \Rightarrow \frac x2=\frac \pi2+k\pi \Rightarrow x=\pi+2k\pi}\)
B) \(\displaystyle{ \tan\frac x2=1 \Rightarrow \frac x2=\frac \pi4+k\pi \Rightarrow x=\frac \pi2+2k\pi}\)
(mogę dzielić przez \(\displaystyle{ \cos\frac x2\neq 0}\))

Inna wersja:
\(\displaystyle{ \sin x -\cos x=1\\
\frac{1}{ \sqrt{2} } \sin x -\frac{1}{ \sqrt{2} } \cos x=\frac{1}{ \sqrt{2} } \\
\sin (x- \frac{ \pi }{4})= \frac{1}{ \sqrt{2} } \\
x- \frac{ \pi }{4}= \frac{ \pi }{4} +2k \pi \ \ \vee \ \ x- \frac{ \pi }{4}= \pi - \frac{ \pi }{4}+2k \pi}\)