Matematyka.pl

Do znalezienia pierwiastki tego wielomianu:
\(\displaystyle{ W(z)=z ^{4} - 3z ^{3} + 4z ^{2} -6z+4}\)

Doszedłem do takiego momentu:

\(\displaystyle{ W(z)=(z ^{3} -2z ^{2} +2z-4)(z-1)=z(z ^{2}+2)-2(z^{2}+2)(z-1)=}\)
\(\displaystyle{ =(z-2)(z^{2}+2)(z-1) = ?}\)

Konkretnie co mam zrobić z tym pierwiastkiem drugiej potęgi? Pewnie to jest banalne, ale mam już niezły mętlik...

\(\displaystyle{ z ^{2} +2=z ^{2}-(i \sqrt{2} ) ^{2} =}\)
i wzor skroconego mnozenia.

Nie bardzo rozumiem tylko co dalej z tym zrobić.

Znalazłem za to trochę inną metodę, ale nie wiem czy jest ona poprawna:

\(\displaystyle{ z ^{2} +2=0}\)
\(\displaystyle{ z ^{2}=-2}\)
\(\displaystyle{ z= -\sqrt{-2} \vee z= \sqrt{-2}}\)

I wtedy ostatnie dwa pierwiastki wielomianu byłyby następujące:
\(\displaystyle{ z= -\sqrt{2}i}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2}i}\)

No dobrze. Twoja metoda prowadzi do mojego wyniku i moja metoda prowadzi do Twojego wyniku

\(\displaystyle{ W(z)=z ^{4} - 3z ^{3} + 4z ^{2} -6z+4}\)

\(\displaystyle{ z ^{4} - 3z ^{3} + 4z ^{2} -6z+4=0}\)

\(\displaystyle{ z ^{4} - 3z ^{3}=- 4z ^{2} +6z-4}\)

\(\displaystyle{ z ^{4} - 3z ^{3}+ \frac{9}{4}z^{2} = \left( \frac{-16+9}{4} \right) z ^{2} +6z-4}\)

\(\displaystyle{ z ^{4} - 3z ^{3}+ \frac{9}{4}z^{2} = \frac{-7}{4}z ^{2} +6z-4}\)

\(\displaystyle{ \left(z^2- \frac{3}{2}z \right)^2 = \frac{-7}{4} z ^{2} +6z-4}\)

\(\displaystyle{ \left(z^2- \frac{3}{2}z + \frac{y}{2} \right)^2 = \frac{-7}{4} z ^{2} +6z-4+y \left(z^2- \frac{3}{2}z \right)+ \frac{y^2}{4}}\)

\(\displaystyle{ \left(z^2- \frac{3}{2}z + \frac{y}{2} \right)^2 = \left(y- \frac{7}{4} \right) z ^{2} + \left( - \frac{3}{2}y+6 \right) z+ \frac{y^2}{4} -4}\)

\(\displaystyle{ \Delta=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{9}{4} \left(y-4 \right)^2= \left(y^2-16 \right) \left(y- \frac{7}{4} \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{9}{4} \left(y^2-8y+16 \right) = y^3- \frac{7}{4}y^2-16y+28}\)

\(\displaystyle{ y^3- 4y^2+2y-8=0}\)

\(\displaystyle{ y^2 \left(y-4 \right)+2 \left(y-4 \right) =0}\)

\(\displaystyle{ \left(y-4 \right) \left(y^2+2 \right) =0}\)

\(\displaystyle{ y=4}\)

\(\displaystyle{ \left(z^2- \frac{3}{2}z + 2 \right)^2 = \frac{9}{4} z ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \left(z^2- \frac{3}{2}z + 2 \right)^2- \left( \frac{3}{2}z \right)^2=0}\)

\(\displaystyle{ \left(z^2- \frac{3}{2}z+2- \frac{3}{2}z\right) \left(z^2- \frac{3}{2}z+2+ \frac{3}{2}z \right)=0}\)

\(\displaystyle{ \left(z^2-3z+2\right) \left(z^2+2\right)=0}\)

\(\displaystyle{ z^2-3z+2=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=9-8=1}\)

\(\displaystyle{ z_{12}= \frac{3 \mp 1}{2}}\)

\(\displaystyle{ z^2+2}\)

\(\displaystyle{ \Delta=0-8=-8}\)

\(\displaystyle{ z_{34}= \frac{0 \mp 2 \sqrt{2} \cdot i }{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} z_{1}=1 \\ z_{2}=2\\z_{3}=- \sqrt{2} \cdot i\\z_{4}= \sqrt{2} \cdot i \end{cases}}\)