Matematyka.pl

Na ile sposobow mozna wybrac trzy liczby sposrod liczb od 1 do 10 tak aby ich suma wynosiła 11? Domyślam się, że tworzymy trójki:

1 1 9
2 1 8
3 1 7
.
.
.

Mogłabym to rozpisać dalej i policzyć wszystkie rzędy paluszkach, ale zajęłoby mi to troche czasu Poza tym, co się stanie, jeśli zmienimy liczbe 11 na np. 100? Trzeba znać algorytm i być chyba ścisłowcem. Ja nie jestem Nie potrafie tego rozgryźć. Prosze Was o pomoc i z góry dziękuję.
Można używać wszystkich kombinacji (także powtarzających się cyfr) typu: 3 1 7, 7 1 3, 1 1 9, itp.

Na razie to sprecyzuj czy moge wybrać spośród tych danych liczb jakąś liczbe dwa razy, np. trójkę 5 1 5 albo 2 7 2.... potem powiedz, czy jeśli mam trójke 1 7 3 to już potem nie uwazględniam trójek 7 3 1, 1 3 7, 7 1 3, 3 1 7, 3 7 1. W zależności od tego są różne wyniki... i troszeczke różne sposoby rozwiązania.

Wystarczy ze wymnozysz \(\displaystyle{ (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10})^3}\) i zerkniesz na wspolczynik przy \(\displaystyle{ x^{11}}\) i tam jest odpowiedz na twoje pytanie (ale jezeli nie chcesz wymnazac tego monstrum to odpowiedz to \(\displaystyle{ 45}\))

Natomiast zauwaz ze jezeli \(\displaystyle{ 11}\) zastapisz liczba \(\displaystyle{ 100}\) to odpowiedz to \(\displaystyle{ 0}\) bo najwieksza liczba elementow ktora mozesz wygenerowac z trzema liczbami z przedzialu \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 10}\) to \(\displaystyle{ 30}\)... W kazdym razie mam nadzieje ze zrozumialas ten ciekawy sposob rozwiazywania tych zadan (oczywiscie mozna to zrobic bardziej klasycznie wyprowadzajac najprawdopodobniej wielomianowy (chodzi mi o te ktore spotykamy n.p w uogolnionym wzorze newtona) wzor... ale po co ?)

jest dużo łatwiejszy sposób na to zadanie. Otóz ilosc rozwiązan tego zadania jest równa ilosci rozwiązan tego równania w liczbach całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a + b + c = 11}\). Jest to zawsze \(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1} }\)
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_k = n}\)
Wynik to \(\displaystyle{ {10 \choose 2}}\) czyli \(\displaystyle{ 45}\).

Czy mając tak sformułowaną treść od razu wiadomo, jakie dokładnie są założenia?

Dla mnie są one takie:
- Wybieramy 3 liczby spośród zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,9,10\}}\), ale tak, że nie mogą się powtarzać ( więc nie będzie możliwości \(\displaystyle{ (1,1,9)}\) )
- Kolejność nie ma znaczenia, a więc nie jest istotne, czy mamy ciąg \(\displaystyle{ (1,2,8)}\), czy \(\displaystyle{ (2,8,1)}\)

Czy nie mając żadnych założeń, przyjmuje się takie, jakie ja dałem?



lol10 dał rozwiązanie dla sytuacji, gdy kolejność ma znaczenie i liczby mogą się powtarzać. Czy gdyby zadanie miało w treści moje założenia to dałoby się je zrobić jakimś innym sposobem niż poprzez wypisywanie wszystkich możliwości?