rozwiązać równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
bokor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 24 lis 2009, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: bokor » 24 lis 2009, o 21:39

Witam. Mam problem z ruszeniem równania : \(\displaystyle{ \sqrt{xy} + x \frac{dy}{dx} = y}\) Podnosiłem do kwadratu, robiłem podstawienia a i tak wychodzą głupoty. Jakby ktoś miał pomysł co z tym zrobić (nie obrażę się za gotowe rozwiązanie) byłbym bardzo wdzięczny. Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
Szemek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1406 razy

rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: Szemek » 25 lis 2009, o 00:10

Najpierw wypadałoby podzielić przez \(\displaystyle{ x}\) i odpowiednio uporządkować, żeby coś zauważyć. \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \sqrt{\frac{y}{x}}}\) Mamy równanie postaci \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = f\left( \frac{y}{x} \right)}\). Podstawiamy \(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\). Dalsze obliczenia pozostawiam Tobie - do rozwiązania będzie proste równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Ostatecznie wyszło mi \(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}x \ln^2 \frac{C}{x}}\). Sprawdzenie dokonujesz przez wstawienie wyniku do równania.

bokor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 24 lis 2009, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: bokor » 25 lis 2009, o 16:53

Wielkie dzieki Szemek. Uratowałeś mnie .

-- 25 lis 2009, o 19:20 --

zacząłem rozwiązywać te zadanko i coś mi się wynik różni. Znając mnie to gdzieś się machnąłem, albo coś źle policzyłem. Jakby ktoś mógł zerknąć \(\displaystyle{ \sqrt{x*y} + x \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = y /:x}\) \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x*y} }{x}+ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{y}{x}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{x*y}{ x^{2} }} + \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{y}{x}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{y}{x} } + \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{y}{x}}\) ---------------------- Podstawienie : \(\displaystyle{ \frac{y}{x} = u}\) \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x } + x + u}\) ---------------------- \(\displaystyle{ \sqrt{u} + x \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x } + u = u}\) \(\displaystyle{ \sqrt{u} = -x \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }}\) \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{u} }{-x} = \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x }}\) \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}u }{ \sqrt{u} } = \frac{ \mbox{d}x }{-x}}\) ===== Całkuję obustronnie : \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}u }{ \sqrt{u} } = 2 \sqrt{u} + C}\) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}x }{-x} = -ln|x| + c}\) ===== \(\displaystyle{ 2 \sqrt{u} = -ln|x| + c /:2}\) \(\displaystyle{ u = \left( \frac{-ln|x| + c}{2} \right) ^{2}}\) No i na końcu wracam do podstawienia y=u*x i wychodzi takie coś: \(\displaystyle{ y = \frac{1}{4}x \left(ln ^{2}|x| + c^{2} \right)}\) Jakby nie patrzeć wynik jest podobny do wyniku Szemka. Ale "prawie" robi wielką różnicę. Jak ktoś zauważył błąd to niech wskaże gdzie go popełniłem.

ODPOWIEDZ