Matematyka.pl

Dwie osoby rzucają po n razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każda z nich otrzyma tę samą liczbę orłów?

proszę o pomoc

\(\displaystyle{ A_k}\) - Osoba pierwsza wyrzuciła k orłów
\(\displaystyle{ B_k}\) - Osoba pierwsza wyrzuciła k orłów
\(\displaystyle{ A}\) - Obie osoby otrzymały taką samą ilość orłów
\(\displaystyle{ A = \bigcup_{k=0}^n A_kB_k\\
P(A)= P\left (\bigcup_{k=0}^n A_kB_k\right )=\sum_{k=0}^nP(A_k)P(B_k)=\\
=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\left (\frac{1}{2}\right )^k
\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\cdot {n\choose k}\left (\frac{1}{2}\right )^k\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{n-k}=\\
=\sum_{k=0}^n{n\choose k}^2\left (\frac{1}{2}\right )^{2k}\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{2n-2k}=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^n
{n\choose k}^2=\frac{1}{2^{2n}}\cdot {2n\choose n}}\)

Mam jeszcze jedno pytanko:

Jak można rozpisać, albo z jakiego wzoru skorzystać, żeby wyszło:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ^{2} = {2n \choose n} ?}\)

Korekta:

\(\displaystyle{ B_{k} }\) - zdarzenie "osoba druga wyrzuciła - k orłów".