rozwiązać równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
Szemek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: Szemek » 21 lis 2009, o 15:16

Mam do rozwiązania takie równanie różniczkowe i nie mam pomysłu jak je ugryźć.
Znajdź całkę ogólną równania różniczkowego \(\displaystyle{ 2\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} \sin x + y \cos x = y^3 (x\cos x - \sin x)}\)
Będę wdzięczny przede wszystkim za wskazówki.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: luka52 » 21 lis 2009, o 15:26

Równanie Bernoulliego - podziel wpierw przez \(\displaystyle{ y^3}\) i podstaw \(\displaystyle{ p = y^{-2}}\).

Awatar użytkownika
Szemek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

rozwiązać równanie różniczkowe

Post autor: Szemek » 22 lis 2009, o 06:15

Dzięki. Poniżej zamieszczam swoje rozwiązanie. \(\displaystyle{ 2\frac{dy}{dx} \sin x + y\cos x = y^3(x\cos x - \sin x) \\ 2y^{-3} \frac{dy}{dx} \sin x + y\cos x = x\cos x - \sin x \\ p = y^{-2} \\ \frac{dp}{dx} = -2y^{-3} \frac{dy}{dx} \\ -\frac{dp}{dx}\sin x + p\cos x = x\cos x - \sin x \\ \frac{dp}{dx} - \frac{\cos x}{\sin x} p = 1 - x\frac{\cos x}{\sin x}}\) Rozwiązuję równanie jednorodne: \(\displaystyle{ \frac{dp}{dx} = \frac{\cos x}{\sin x} p \\ \frac{dp}{p} = \frac{\cos x}{\sin x} dx \\ \ln|p| = \ln|C\sin x| \\ p = C\sin x}\) Metoda uzmienniania stałej: \(\displaystyle{ p = C(x)\sin x \\ \frac{dp}{dx} = C'(x)\sin x + C(x)\cos x \\ C'(x)\sin x + C(x)\cos x - C(x)\cos x = 1 - x\frac{\cos x}{\sin x} \\ C'(x) = \frac{1}{\sin x} - x\frac{\cos x}{\sin^2 x} \\ C(x) = \frac{x}{\sin x} + C_1}\) \(\displaystyle{ p = x + C_1\sin x \\ y^{-2} = x + C_1\sin x \\ y^2 = \frac{1}{x + C_1 \sin x}}\)

ODPOWIEDZ