baza sumy podprzestrzeni
: 20 lis 2009, o 19:27
Wykład i ćwiczenia miałem kompletnie niezrozumiałe, więc proszę o pomoc. Mam pewien problem z wyznaczeniem bazy podprzestrzeni \(\displaystyle{ X + Y, X \cap Y \subset R^3}\) i mam podane:
\(\displaystyle{ X = { \vec{x} \in R^3 : x_1 + x_2 + x_3 = 0}}\)
\(\displaystyle{ Y = { \vec{y} \in R^3 : x3 = 0}}\)
Wydaje mi się, że bazą X i Y jest:
\(\displaystyle{ X = span\{\begin{bmatrix} 1\\0\\-1\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\-1\end{bmatrix}\}}\)
\(\displaystyle{ Y = span\{\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\end{bmatrix}\}}\)
W mądrej książce znalazłem, że \(\displaystyle{ X \cap Y}\) jest przestrzenią rozwiązań układu, który składa się ze wszystkich równań układu X i wszystkich równań układu Y. Czyli wtedy:
\(\displaystyle{ X \cap Y = \{ \vec{v} \in R^3 : x_1 + x_2 + x_3 = 0 \wedge x3 = 0}\}=}\)
\(\displaystyle{ = \{ \vec{v} \in R^3 : x3 = 0 \wedge x_2 = - x_1\}}\)
Czyli bazą \(\displaystyle{ X \cap Y}\) jest:
\(\displaystyle{ X \cap Y = span \{\begin{bmatrix} 1\\-1\\0\end{bmatrix} \}}\)
Czy dobrze myślę?
Dalej w tej książce znalazłem, że:
\(\displaystyle{ X + Y = span \{ X \cup Y \}}\)
Czyli w tym przypadku:
\(\displaystyle{ X = span\{\begin{bmatrix} 1\\0\\-1\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\-1\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\end{bmatrix}\}}\)
Ale teraz mam układ liniowo zależny. Czyli mam zbadać który z tych wektorów usunąć? Według mnie można usunąć każdy z nich i otrzymamy niezależny układ wektorów rozpinający przestrzeń X + Y.
Dobrze myślę?
Aha, i jak rozumieć w tym przypadku, że:
Jeśli X i Y są podprzestrzeniami V, to przez X + Y będziemy oznaczać zbiór \(\displaystyle{ \{ x + y : x \in X, y \in Y \}}\) . Jak to przedstawić dla tego przypadku? Pewnie źle rozumowałem wyżej.
O, a może \(\displaystyle{ X + Y = \{ \vec{v} \in R^3 : x_1 + x_2 \ dowolne \ \wedge x_3 = -x_2 - x_1 \}}\) ?
\(\displaystyle{ X = { \vec{x} \in R^3 : x_1 + x_2 + x_3 = 0}}\)
\(\displaystyle{ Y = { \vec{y} \in R^3 : x3 = 0}}\)
Wydaje mi się, że bazą X i Y jest:
\(\displaystyle{ X = span\{\begin{bmatrix} 1\\0\\-1\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\-1\end{bmatrix}\}}\)
\(\displaystyle{ Y = span\{\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\end{bmatrix}\}}\)
W mądrej książce znalazłem, że \(\displaystyle{ X \cap Y}\) jest przestrzenią rozwiązań układu, który składa się ze wszystkich równań układu X i wszystkich równań układu Y. Czyli wtedy:
\(\displaystyle{ X \cap Y = \{ \vec{v} \in R^3 : x_1 + x_2 + x_3 = 0 \wedge x3 = 0}\}=}\)
\(\displaystyle{ = \{ \vec{v} \in R^3 : x3 = 0 \wedge x_2 = - x_1\}}\)
Czyli bazą \(\displaystyle{ X \cap Y}\) jest:
\(\displaystyle{ X \cap Y = span \{\begin{bmatrix} 1\\-1\\0\end{bmatrix} \}}\)
Czy dobrze myślę?
Dalej w tej książce znalazłem, że:
\(\displaystyle{ X + Y = span \{ X \cup Y \}}\)
Czyli w tym przypadku:
\(\displaystyle{ X = span\{\begin{bmatrix} 1\\0\\-1\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\-1\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\end{bmatrix}\}}\)
Ale teraz mam układ liniowo zależny. Czyli mam zbadać który z tych wektorów usunąć? Według mnie można usunąć każdy z nich i otrzymamy niezależny układ wektorów rozpinający przestrzeń X + Y.
Dobrze myślę?
Aha, i jak rozumieć w tym przypadku, że:
Jeśli X i Y są podprzestrzeniami V, to przez X + Y będziemy oznaczać zbiór \(\displaystyle{ \{ x + y : x \in X, y \in Y \}}\) . Jak to przedstawić dla tego przypadku? Pewnie źle rozumowałem wyżej.
O, a może \(\displaystyle{ X + Y = \{ \vec{v} \in R^3 : x_1 + x_2 \ dowolne \ \wedge x_3 = -x_2 - x_1 \}}\) ?