Matematyka.pl

\(\displaystyle{ -y + x + 2y' + (y')^2=0}\)
tak była podana treść na zajęciach i nic więcej , nie wiem nawet jak ruszyć coś takiego. z góry dzięki za pomoc

Różniczkujemy obustronnie:
Podstawiając \(\displaystyle{ p = y'}\) otrzymamy równanie I rzędu o zmiennych rozdzielonych.

mogę prosić o więcej wskazówek, bo nigdy nie rozwiązywaliśmy jeszcze takich równań. jak odnieść sie do tego podstawionego p. dostaję coś takiego:
\(\displaystyle{ -p + 1 + 2y'' + 2py''=0}\)
?

Ale skoro podstawienie jest \(\displaystyle{ p=y'}\), to także \(\displaystyle{ y''=(y')'=p'}\), więc równanie po podstawieniu przyjmie postać \(\displaystyle{ -p+1+2p'+2pp'=0}\), tj. \(\displaystyle{ (1-p)+2(1+p)p'=0}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ p=-1}\) nie spełnia powyższego równania. Mamy zatem równoważnie \(\displaystyle{ p'=\frac{p-1}{2(p+1)}}\). Otrzymane równanie jest równaniem o rozdzielonych zmiennych, o prawej stronie określonej i ciągłej w każdym z prostokątów \(\displaystyle{ T_1=\mathbb{R}\times(-\infty,-1)}\) oraz \(\displaystyle{ T_2=\mathbb{R}\times(-1,+\infty)}\).

no czyli co, mam calkowac lewą strone po dy a prawą po dx? coś mi się wydaje, że ktoś nam nie wytłumaczył tzw. podstaw ;/

Czyli musisz scałkować obustronnie takie równanie:

\(\displaystyle{ \frac{p+1}{p-1} \mbox{d}p=2 \mbox{d}t}\)

Czyli po dp i dt.

Pozdrawiam

A mógłby mi ktoś powiedzieć w jaki sposób, dla tego samego równania wyznaczyć jego rozwiązania osobliwe i obwiednię??
Bo nie mam pojęcia jak to ugryźć...