Matematyka.pl

1.\(\displaystyle{ xy"+xy'=1}\)
2.\(\displaystyle{ xy"+xy'=0}\)

\(\displaystyle{ \Large xy^{''}+xy^{'}=1}\)

\(\displaystyle{ \Large y^{''}+y^{'}=\frac{1}{x}}\)

Zapisuje równanie jednorodne:

\(\displaystyle{ \Large y^{''}+y^{'}=0}\)

Zapisuje równanie charakterystyczne:

\(\displaystyle{ \Large r^{2}+r=0}\)

Z tego wyznaczam:

\(\displaystyle{ \Large r_{1}=0 \quad \quad r_{2}=-1}\)

\(\displaystyle{ \Large y_{1}=1 \quad \quad y_{2}=e^{-x}}\)

\(\displaystyle{ \Large y=C_{1}+C_{2}e^{-x}}\)

Dalej trzeba utworzyć wyznacznik Wrońskiego, jeśli nie będziesz umiała, to pisz.

Dziekuje serdecznie....dla mnie rozniczki tym razem to magia ...wole 100% całki:)))) Pozdrawiam

\(\displaystyle{ \Large xy^{''}+xy^{'}=0}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ \Large p=y^{'}}\)

\(\displaystyle{ \Large xp^{'}+xp=0}\)

\(\displaystyle{ \Large xp'=-xp}\)

\(\displaystyle{ \Large \frac{dp}{dx}=-p}\)

\(\displaystyle{ \Large \frac{dp}{p}=-dx}\)

\(\displaystyle{ \Large ln|p|=-x+C}\)

\(\displaystyle{ \Large p=e^{-x+C}}\)

\(\displaystyle{ \Large p=Ce^{-x}}\)

Wracam do podstawienia:

\(\displaystyle{ \Large \frac{dy}{dx}=Ce^{-x}}\)

Piszesz, że jesteś dobra z całek, to masz prościutką całeczkę:

\(\displaystyle{ \Large y=\int Ce^{-x} dx}\)

Jak rozwiążesz, to dostaniesz rozwiązanie ogólne równania jednorodnego (RORJ). Do wyznaczenia rozwiązania szczególnego potrzebne są warunki początkowe, ale nie ma ich podanych, więc zostawiamy w tej postaci.

)) jestes wielki ))) serdecznie dziekuje

Dokończenie 3 przykładu:

\(\displaystyle{ \Large ft{\begin{array}{l}C_{1}^{'}(x)+C_{2}^{'}(x)e^{-x}=0\\C_{1}^{'}(x)-C_{2}^{'}(x)e^{-x}=\frac{1}{x}\end{array}}\)

Z tego:

\(\displaystyle{ \Large W=-2e^{-x}}\)

\(\displaystyle{ \Large W_{1}=-\frac{1}{x} e^{-x}}\)

\(\displaystyle{ \Large W_{2}=\frac{1}{x}}\)

Powinnaś znać takie wzory:

\(\displaystyle{ \Large C_{1}^{'}(x)=\frac{W_{1}}{W}=\frac{1}{2x}}\)

\(\displaystyle{ \Large C_{2}^{'}(x)=\frac{W_{2}}{W}=\frac{1}{2xe^{-x}}}\)

\(\displaystyle{ \Large C_{1}(x)=\frac{1}{2} t \frac{1}{x} dx \frac{1}{2}ln|x|+A}\)

\(\displaystyle{ \Large C_{2}(x)=\frac{1}{2} t \frac{1}{xe^{-x}}dx}\)

EDIT:

Gdzieś się musiałem pomylić, bo ostatnia całka nie jest do policzenia w sposób elementarny.

jestem pełna podziwu. Dziekuje

Hmmm, widzę, ze się powtórzyłem z tematem równań parę godzin po fakcie. Wydaje mi się, że W powinno wyjść -e^x ( mi tak przynajmniej wyszło). Natomiast co do C2, też nie mogę policzyć. wychodzi mi :

∫ [(1/x)/(-e^-x)]dx jak to zrobić?

Cani pisze:Wydaje mi się, że W powinno wyjść -e^x ( mi tak przynajmniej wyszło).

To Ci źle wyszło. Wychodzi tak jak napisałem.

Cani pisze:∫ [(1/x)/(-e^-x)]dx jak to zrobić?

Już napisałem wyżej, że funkcjami elementarnymi tego nie zrobisz. Można szeregiem potęgowym,ale to już inna bajka.

Pozdrawiam

To Ci źle wyszło. Wychodzi tak jak napisałem.

Taki pewny jesteś? Jeśli piszesz, że komuś wyszło źle, to zastanów się dwa razy.
Źle zapisałeś sobie układ równań, bo

\(\displaystyle{ y_1'(x)=0}\)