Matematyka.pl

1. Uzasadnij, że równanie \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=2009 ^{3}}\) nie ma pierwiastków całkowitych.
2. Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x ^{4} +2x ^{2} +26>2x ^{3} +10x}\)

1. gdyby x było całkowite, to z trzech liczb x, x+1 i x+2 przynajmniej jedna byłaby parzysta, a więc ich iloczyn też. tymczasem 2009^3 nie jest.

2. ktoś to już robił sprytnie, niestety, nie pamiętam. widać, że dla x<=0 nierówność jest spełniona. dla x>0 można tak:
\(\displaystyle{ x^4+x^2\ge 2\sqrt{x^4\cdot x^2}=2x^3}\), \(\displaystyle{ x^2+25\ge 2\sqrt{x^2\cdot 25}=10x}\). wystarczy dodać stronami te nierówności oraz nierówność 1>0.