Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+(y-1)^2=1\}}\)
Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ \Phi: S\rightarrow[-1,1]}\) będąca surjekcją?

Oczywiście, jest ich całe mnóstwo. Najprostszą z nich jest rzut na pierwszą oś:

\(\displaystyle{ \pi:S \rightarrow [-1,1],\ \pi(x,y)=x}\)

JK

Wystarczy przyjąć jako \(\displaystyle{ \Phi}\) rzutowanie na pierwszą współrzędną: \(\displaystyle{ \Phi(x,y)=x}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in S}\). Jest to funkcja poprawnie określona, bowiem dla każdego \(\displaystyle{ (x,y)\in S}\) mamy \(\displaystyle{ x^2=1-(y-1)^2\le 1-0=1}\), tj. \(\displaystyle{ x\in[-1,1]}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ \Phi(S)\subset[-1,1]}\).
Co więcej, weźmy dowolne \(\displaystyle{ t\in[-1,1]}\). Połóżmy \(\displaystyle{ (x,y)=(t,1+\sqrt{1-t^2})}\). Mamy \(\displaystyle{ x^2+y^2=t^2+1-t^2=1}\), więc \(\displaystyle{ (x,y)\in S}\). Ponadto \(\displaystyle{ \Phi(x,y)=\Phi(t,1+\sqrt{1-t^2})=t}\). To daje, że \(\displaystyle{ [-1,1]\subset\Phi(S)}\).
Mamy zatem równość \(\displaystyle{ \Phi(S)=[-1,1]}\), czyli \(\displaystyle{ \Phi}\) jest surjekcją \(\displaystyle{ S}\) na \(\displaystyle{ [-1,1]}\).

Intuicyjnie istnienie powyższej funkcji jest jasne, gdyż okrąg \(\displaystyle{ S}\) i odcinek \(\displaystyle{ [-1,1]}\) są zbiorami równolicznymi. Zatem de facto istnieją odwzorowania wzajemnie jednoznaczne rozważanej pary zbiorów.