Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos 5x}{\cos 3x}}\)
Otóż to. Myślałem, żeby jakoś dojść z tych cosinusów do sinusów a \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) podstawić jakieś \(\displaystyle{ t}\) dążące do zera, ale nie wychodzi mi nic

I jeszcze to:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty } \frac{\ln(1+2^x)}{3^x} =\\
\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{(\frac{3}{2})^{\ln t}t}=\\
\lim_{t \to 0} (\frac{2}{3})^{\ln t}}\)
Logarytm ma dziedzinę specyficzną, więc nie wiem czy zapis kiedy t dąży do 0, ln t ma jakiś sens?

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos 5x}{\cos 3x}\\}\)
\(\displaystyle{ x\to\frac{\pi}{2}}\). Więc podstawmy \(\displaystyle{ x=t+\frac{\pi}{2}}\). Będzie więc: \(\displaystyle{ t+\frac{\pi}{2}\to\frac{\pi}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ t\to 0}\).
\(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} \frac{\cos\left(5t+\frac{5}{2}\pi\right)}{\cos \left(3t+\frac{3}{2}\pi\right)}=\lim_{ t\to 0} \frac{\cos\left(5t+\frac{1}{2}\pi\right)}{\cos \left(3t+\frac{1}{2}\pi\right)}=
\lim_{ t\to 0} \frac{\sin 5t}{\sin 3t}}\)

Dzięki Mistrzu! Jeszcze jakbyś spojrzał na kolejne, to byłbym wdzięczny. Pozdrawiam