Matematyka.pl

Witam, oto zadanie:

Niech przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \phi : R^{3} \rightarrow R^{2}}\) będzie zadane wzorem \(\displaystyle{ \phi \left( \left( x_{1}, x_{2}, x _{3} \right) \right) = (3x_{1}+ 7x_{2}+ 4x_{3}, x_{1} + 2x_{2} + x_{3})}\). Znaleźć takie bazy A w \(\displaystyle{ R^{3}}\) oraz B w \(\displaystyle{ R^{2}}\), że
\(\displaystyle{ M\((\phi)_{A}^{B} = [\[_{1 0 0}^{2 2 1}]}\).

Z gory dzieki;]

W ogólnym przypadku to trzeba rozwiązywać układy równań, ale tutaj, dzięki odpowiedniemu wyglądowi macierzy M, można trochę oszukiwać

Po pierwsze, z faktu, jak wygląda 2 i 3 kolumna macierzy M można wywnioskować, że jeśli (a,b,c) oraz (d,e,f) są 2 i 3 wektorem bazowym w A, to

\(\displaystyle{ 3a+7b+4c=2(d+2e+f)\ \Rightarrow \ 3(a-2d)+7(b-2e)+4(c-2f)=0\ \Rightarrow \ 3x+7y+4z=0}\).

A więc np \(\displaystyle{ x=z=-1, y=1}\), a stąd mamy np \(\displaystyle{ a=1,\ b=3,\ c=1,\ d=1,\ e=1,\ f=1}\). Wtedy \(\displaystyle{ \phi(1,3,1)=(28,8)=[2,0]_B,\ \phi(1,1,1)=(14,4)=[1,0]_B}\), czyli pierwszy wektor w B ma postać (14,4).

To teraz wystarczy dobrać dowolny wektor liniowo niezależny z 2 i 3 wektorem w bazie A - np (1,0,0). Wtedy \(\displaystyle{ \phi(1,0,0)=(3,1)=2(14,4)+(m,n)}\), skąd \(\displaystyle{ (m,n)=(-25, -7)}\) i jest to drugi wektor bazy B (ponieważ spełnia odpowiednie własności i jest liniowo niezależny z pierwszym).

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ A=((1,0,0), (1,3,1), (1,1,1)),\ B=((14,4),\ (-25,-7))}\)

Pozdrawiam.