Matematyka.pl

Muszę udowodnić, że \(\displaystyle{ A \cup (A \cap B)=A}\) jeżeli rozpisuję to z rozdzielności koniunkcji względem alternatywy to nic nie daje. Proszę o podpowiedź

Tu nie da się inaczej, jak przez przejście do rachunku zdań i skorzystanie z prawa pochłaniania

\(\displaystyle{ p\lor(p\land q) \Leftrightarrow p,}\)

które trzeba najpierw udowodnić, np. tabelką.

JK

\(\displaystyle{ x \in A \vee x \in A \cap B \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x \in A \vee (x \in A \wedge B) \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in A) \wedge (x \in A \vee x \in B) \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x \in A \wedge (x \in A \vee x \in B) \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x \in A}\)
Nieważne czy \(\displaystyle{ x \in B}\), bo wyrażenie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x \in A}\). Możesz to sobie sprawdzi metodą zero-jedynkową.

Nixur pisze:\(\displaystyle{ x \in A \vee x \in A \cap B \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x \in A \vee (x \in A \wedge B) \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in A) \wedge (x \in A \vee x \in B) \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x \in A \wedge (x \in A \vee x \in B) \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x \in A}\)
Nieważne czy \(\displaystyle{ x \in B}\), bo wyrażenie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x \in A}\). Możesz to sobie sprawdzi metodą zero-jedynkową.

Twój dowód niestety niczego nie rozwiązuje, bo sprowadziłeś kwestię zachodzenia równości \(\displaystyle{ A\cup(A\cap B)}\) do kwestii zachodzenia dualnej równości \(\displaystyle{ A\cap(A\cup B)}\).

Pytanie, czy prawdą jest
\(\displaystyle{ x \in A \wedge (x \in A \vee x \in B) \Leftrightarrow x \in A}\)
jest dokładnie tej samej złożoności, co pytanie o prawdziwość
\(\displaystyle{ x \in A \lor (x \in A \land x \in B) \Leftrightarrow x \in A}\).

JK