Strona 1 z 1
liczby zespolone, kilka zadań
: 11 lis 2009, o 19:36
autor: koluch
1. Wyznacz wszystkie liczby zespolone z dla których \(\displaystyle{ z^{2} = -4\overline{z}}\)
2. Korzystając ze wzoru de Moivre'a wyraź \(\displaystyle{ cos3\phi}\) w terminach \(\displaystyle{ cos\phi}\) i \(\displaystyle{ sin\phi}\).
liczby zespolone, kilka zadań
: 12 lis 2009, o 01:25
autor: demilejdi
Ad 1.
\(\displaystyle{ z = a + ib}\)
\(\displaystyle{ (a + ib)^{2} = \frac{-4(a + ib)}{a - ib}\\ (a - ib)(a + ib)(a + ib) = -4a - 4ib\\ (a^{2} + b^{2})(a + ib) = -4a - 4ib\\ a^{3} + a^{2}ib + ab^{2} + ib^{3} = -4a - 4ib\\ a^{3} + ab^{2} + 4a + i(a^{2}b + b^{3} + 4b) = 0}\)
Porównując część rzeczywistą i urojoną obydwu stron równania otrzymujemy układ dwóch równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{3} + ab^{2} + 4a = 0\\a^{2}b + b^{3} + 4b = 0\end{cases}}\)
który spełnia para (0, 0).
Ad 2.
\(\displaystyle{ \cos 3x + i\sin 3x = (\cos x + i\sin x)^{3}=\\= \cos^{3} x + 3i\cos^{2} x\sin x + 3i^{2}\cos x\sin^{2} x + i^{3}\sin^{3} x=\\=\cos^{3} x - 3\cos x \sin^{2} x + i(3\cos^{2} x\sin x - \sin^{3} x).}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \cos 3x = \cos^{3} x - 3\cos x \sin^{2} x.}\)
liczby zespolone, kilka zadań
: 17 lis 2009, o 16:54
autor: Sondinho
\(\displaystyle{ (a + ib)^{2} = \frac{-4(a + ib)}{a - ib}}\) mógłby ktoś wyjaśnić dlaczego podzielono przez a-ib?